\(a+b+c=1\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^3=1\)
\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3+3\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)=1\)
\(\Leftrightarrow1+3\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)=1\)
\(\Leftrightarrow3\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)=0\)
Mặt khác \(a+b+c=1\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a+b=1-c\\b+c=1-a\\c+a=1-b\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\left(1-c\right)\left(1-a\right)\left(1-b\right)=0\)
=> Trong 3 số a,b,c ít nhất có 1 số bằng 1 để (1 - c)(1 - a)(1 - b) = 0. Mà a + b + c = 1 => 2 số còn lại có tổng bằng 0
=>\(P=a^{2017}+b^{2017}+c^{2017}=1\)
