Question

 Cho a + b + c =\(a^2\)\(+\text{b}^2\)+\(\text{c}^2\)=1;\(\frac{a}{x}\)=\(\frac{\text{ b }}{y}\)=\(\frac{\text{c}}{z}\)Chưng minh xy + yz + xz  = 0

Answer 1

ĐK: x;y;z\(\ne0\)

a + b + c = => (a + b + c)² = 1

=> a² + b² + c² + 2(ab + bc + ca) = 1

Theo đề bài lại có: a² + b² + c² = 1

Do đó 2(ab + bc + ca) = 0

<=> ab + bc + ca = 0

Ta có: \(\frac{a}{x}=\frac{b}{y}=\frac{c}{z}\)\(\Rightarrow\frac{a^2}{x^2}=\frac{ab}{xy}=\frac{bc}{yz}=\frac{ac}{xz}\)  (*)

+ Nếu xy + yz + xz = 0, ta có đpcm

+ Nếu \(xy+yz+xz\ne0\)

Áp dụng t/c của dãy tỉ số = nhau ta có:

\(\frac{a^2}{x^2}=\frac{ab}{xy}=\frac{bc}{yz}=\frac{ca}{xz}=\frac{ab+bc+ca}{xy+yz+xz}=0\)\(\Rightarrow a=b=c=0\)

=> a + b + c = 0, mâu thuẫn với đề

Vậy ta có đcpm