Ta có :
\(\frac{a^2}{a+b}=\frac{a\left(a+b\right)-ab}{a+b}=a-\frac{ab}{a+b}\text{≥}a-\frac{ab}{2\sqrt{ab}}=a-\frac{\sqrt{ab}}{2}\)(1)
Tương tự : \(\hept{\begin{cases}\frac{b^2}{b+c}\text{≥}b-\frac{\sqrt{bc}}{2}\left(2\right)\\\frac{c^2}{c+a}\text{≥}c-\frac{\sqrt{ac}}{2}\left(3\right)\end{cases}}\)
Cộng vế với vế của (1);(2)(;(3) lại ta được :
\(\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{a+c}\text{≥}a+b+c-\frac{\sqrt{ab}}{2}-\frac{\sqrt{bc}}{2}-\frac{\sqrt{ac}}{2}\)
\(\Leftrightarrow A\text{≥}\left(a+b+c-\sqrt{ab}-\sqrt{bc}-\sqrt{ab}\right)+\left(\frac{\sqrt{ab}}{2}+\frac{\sqrt{bc}}{2}+\frac{\sqrt{ac}}{2}\right)\)
Lại lại có : \(a+b+c\text{≥}\sqrt{ab}+\sqrt{ac}+\sqrt{bc}\) (tự chứng minh)
\(\Rightarrow a+b+c-\sqrt{ab}-\sqrt{bc}-\sqrt{ab}\text{≥}0\)
Nên \(A\text{≥}\frac{1}{2}\left(\sqrt{ab}+\sqrt{ac}+\sqrt{bc}\right)=\frac{1}{2}\)có GTNN là 1/2
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}\)
