Bài làm:
Mk cx ko chắc nx nha !
\(\frac{1}{a+b+1}+\frac{1}{b+c+1}+\frac{1}{c+a+1}\)
\(=3-\left(\frac{a+b}{a+b+1}+\frac{b+c}{b+c+1}+\frac{c+a}{c+a+1}\right)\)(mk không biết cách viết nên ns nhé, tổng trong ngoặc { m, là
cái Tổng trong ngoặc dưới tổng có một dấu ngoặc nhọn, dưới dấu ngặc nhọn có M}
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
\(M=\frac{\left(a+b\right)^2}{\left(a+b\right)\left(a+b+1\right)}+\frac{\left(b+c\right)^2}{\left(b+c\right)\left(b+c+1\right)}+\frac{\left(c+a\right)^2}{\left(c+a\right)\left(c+a+1\right)}\)\(\ge\frac{4\left(a+b+c\right)^2}{\left(a+b\right)\left(a+b+1\right)\left(b+c\right)\left(b+c+1\right)\left(c+a\right)\left(c+a+1\right)}\)
\(=\frac{4\left(a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\right)}{2\left(a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca\right)+2\left(a+b+c\right)}\ge\frac{4\left(a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\right)}{2\left(a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca\right)+2\left(ab+bc+ca\right)}\)
\(=2\)
(Do \(a+b+c\le ab+bc+ca\))
Vậy \(M\ge2\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a+b+1}+\frac{1}{b+c+1}+\frac{1}{c+a+1}=3-M\le1\)(Đpcm)
Dấu ''='' xảy ra khi a=b=c=1
Chép bài à bn tại sao \(A=\frac{1}{a+b+1}\) thế 2 ở bên kia đ?
Hơn nữa bất đẳng thức bn sai bét rồi người ta bảo bất đẳng thức bên kia mà sao bạn cho tổng luôn
3- lấy đâu ra kết quả phải là \(2^2\)chứ
Nếu ghi sai đề bài là bn sai cả bài k chắc đ :)
Ngoài ra các tổng bên ngoặc k có 4 hay 2 gì hết sai hết r nhé
