Áp dụng bđt : x^2+y^2+z^2 >= (x+y+z)^2/3 ta có :
\(\frac{\sqrt{b^2+2a^2}}{ab}\)= \(\frac{\sqrt{a^2+b^2+a^2}}{ab}\)>= \(\frac{\sqrt{\frac{\left(a+b+a\right)^2}{3}}}{ab}\) = \(\frac{2a+b}{\sqrt{3}ab}\) = \(\frac{2}{\sqrt{3}b}+\frac{1}{\sqrt{3}a}\)
Tương tự : \(\frac{\sqrt{c^2+2b^2}}{bc}\)>= \(\frac{2}{\sqrt{3}c}+\frac{1}{\sqrt{3}b}\) ; \(\frac{\sqrt{a^2+2c^2}}{ac}\)>= \(\frac{2}{\sqrt{3}a}+\frac{1}{\sqrt{3}c}\)
=> \(\frac{\sqrt{b^2+2a^2}}{ab}\)+ \(\frac{\sqrt{c^2+2b^2}}{bc}\)+ \(\frac{\sqrt{a^2+2c^2}}{ac}\)>= \(\frac{3}{\sqrt{3}a}+\frac{3}{\sqrt{3}b}+\frac{3}{\sqrt{3}c}\)
= \(\frac{3}{\sqrt{3}}\).(1/a+1/b+1/c) = \(\sqrt{3}\).(ab+bc+ca)/abc = \(\sqrt{3}\).abc/abc = \(\sqrt{3}\)
Dấu "=" xảy ra <=> a=b=c=3
=> ĐPCM
k mk nha
Áp dụng BĐT Mincopxki ta có:
Đặt \(\left(\frac{1}{a};\frac{1}{b};\frac{1}{c}\right)\rightarrow\left(x;y;z\right)\Rightarrow\hept{\begin{cases}x,y,z>0\\x+y+z=1\end{cases}}\)
Và \(BDT\Leftrightarrow\sqrt{x^2+2y^2}+\sqrt{y^2+2z^2}+\sqrt{z^2+2x^2}\)
\(\ge\sqrt{\left(x+y+z\right)^2+\left(\sqrt{2}\left(x+y+z\right)\right)^2}\)
\(=\sqrt{1+\left(\sqrt{2}\right)^2}=\sqrt{1+2}=\sqrt{3}=VP\)
Khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
Cho mk hỏi làm sao để có dòng chữ màu đỏ đó vậy
Mạn phép chém cách khác v:
Theo giả thiết: ab + bc + ca = abc \(\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1\)
Áp dụng bđt Bunhiacopxki, ta có:
\(3\left(b^2+2a^2\right)\ge\left(b+2a\right)^2\)
\(\Rightarrow\sqrt{b^2+2a^2}\ge\frac{b+2a}{\sqrt{3}}\).Do đó \(\frac{\sqrt{b^2+2a^2}}{ab}\ge\frac{b+2a}{\sqrt{3}ab}=\frac{1}{\sqrt{3}}\left(\frac{1}{a}+\frac{2}{b}\right)\)
Tương tự ta có: \(\frac{\sqrt{c^2+2b^2}}{bc}\ge\frac{1}{\sqrt{3}}\left(\frac{1}{b}+\frac{2}{c}\right)\); \(\frac{\sqrt{a^2+2c^2}}{ca}\ge\frac{1}{\sqrt{3}}\left(\frac{1}{c}+\frac{2}{a}\right)\)
Cộng từng vế của các bđt trên, ta được:
\(\text{ Σ}_{cyc}\frac{\sqrt{b^2+2a^2}}{ab}\ge\frac{1}{\sqrt{3}}.3\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)=\frac{1}{\sqrt{3}}.3.1=\sqrt{3}\)
Dấu "=" xảy ra khi a = b = c = 3
