Thử :
Áp dụng BĐT Cosi ta đc :
\(\frac{a}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{b}\ge\frac{9}{a+b+c}\)
\(\frac{a}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{b}\ge3\sqrt{\frac{a}{c}.\frac{b}{a}.\frac{c}{b}}=3\)
Dấu ''='' xảy ra khi \(\frac{9}{a+b+c}\Leftrightarrow\frac{9}{3+3+3}=1\)
\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}a=1\\b=1\end{cases};c=1}\)
Lần đầu lm cs vẻ sai phần trình bày
No Name làm thế này mới đúng
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
\(\frac{a}{c}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{ab+bc+ca}\)
Ta sẽ chứng minh
\(\frac{\left(a+b+c\right)^2}{ab+bc+ca}\ge\frac{9}{a+b+c}\Leftrightarrow\frac{3}{ab+bc+ca}+2\ge\frac{9}{a+b+c}\)
Đặt a+b+c=t thì ta cần chứng minh
\(\frac{6}{t^2-3}+2\ge\frac{9}{t}\Leftrightarrow\left(t+3\right)\left(t-3\right)^2\ge0\)
Dấu "=" xảy ra <=> a=b=c=1
