Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Nguyễn Lâm Ngọc

Cho a, b, c > 0 thỏa mãn a + b + c = 3. Chứng minh rằng: \(\frac{a+1}{b^2+1}+\frac{b+1}{c^2+1}+\frac{c+1}{a^2+1}\ge3\)

Thắng Nguyễn
3 tháng 2 2018 lúc 18:04

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(\frac{a+1}{b^2+1}=\left(a+1\right)-\frac{ab^2+b^2}{b^2+1}\ge\left(a+1\right)-\frac{ab^2+b^2}{2b}=\left(a+1\right)-\frac{ab+b}{2}\)

Tương tự cho 2 BĐT còn lại rồi cộng theo vế:

\(VT\ge a+b+c+3-\frac{a+b+c+ab+bc+ac}{2}\)

\(\ge a+b+c+3-\frac{a+b+c+\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}}{2}\)

\(\ge3+3-\frac{3+\frac{3^2}{3}}{2}=3\)

\("="\Leftrightarrow a=b=c=1\)


Các câu hỏi tương tự
Lân Huỳnh Bảo
Xem chi tiết
Phạm Đức Dũng
Xem chi tiết
Nguyễn Văn Vũ
Xem chi tiết
Cá Chinh Chẹppp
Xem chi tiết
Nguyễn thị Ngọc Ánh
Xem chi tiết
Nguyễn Hưng Phát
Xem chi tiết
l҉o҉n҉g҉ d҉z҉
Xem chi tiết
vũ tiền châu
Xem chi tiết
Phúc Long Nguyễn
Xem chi tiết