Question

Cho a = 1+2+3+......+n

        b = 2n+1   ( n thuộc N ; n lớn hơn hoặc bằng 2 )

CMR a và b nguyên tố cùng nhau.

Answer 1

\(a=\frac{n\left(n+1\right)}{2}\)

Ta có: \(n\left(n+1\right)⋮2\left(n\in N\right)\)

Đặt \(ƯC\left(a;b\right)=d\)

\(\Rightarrow n\left(n+1\right)⋮d,2n+1⋮d\)

\(\Rightarrow\left(2n+1\right).n-n\left(n+1\right)⋮d\)

\(\Rightarrow2n^2+n-n^2-n⋮d\)

\(\Rightarrow n^2⋮d\Rightarrow n⋮d\)

\(\Rightarrow2n+1-2n⋮d\) (vì 2n + 1 chia hết cho d)

\(\Rightarrow1⋮d\Rightarrow d=1\)

Vậy a và b nguyên tố cùng nhau.