\(A=\left(\frac{1}{2^2}-1\right)\left(\frac{1}{3^2}-1\right)\left(\frac{1}{4^2}-1\right)...\left(\frac{1}{100^2}-1\right)\)
\(A=\frac{\left(-1\right).3}{2^2}.\frac{\left(-2\right).4}{3^2}.\frac{\left(-3\right).5}{4^2}....\frac{\left(-99\right).101}{100^2}\)
Tổng số hạng của A là: 100-2+1=99 (số hạng)
Do số hạng của A là lẻ nên A có giá trị âm
=> \(A=-\frac{1.2.3.4...99.101}{2^2.3.4....100}=-\frac{101}{2.100}< -\frac{100}{2.100}=-\frac{1}{2}\)
=> \(A< -\frac{1}{2}\)
Ta có: \(A=\left(\frac{1}{2^2}-1\right)\left(\frac{1}{3^2}-1\right)\left(\frac{1}{4^2}-1\right)....\left(\frac{1}{100^2}-1\right)\)
\(=\left(\frac{-3}{2^2}\right)\left(\frac{-8}{3^2}\right)\left(\frac{-15}{4^2}\right)...\left(\frac{-9999}{100^2}\right)\)
\(=-\left(\frac{1.3}{2.2}\right)\left(\frac{2.4}{3.3}\right)\left(\frac{3.5}{4.4}\right)....\left(\frac{99.101}{100.100}\right)\)
\(=-\frac{1.2.3....99}{2.3.4....100}.\frac{3.4.5...101}{2.3.4...100}\)
\(=-\frac{1}{100}.\frac{101}{3}=\frac{-101}{300}\)
Ấy quên: \(=-\frac{1}{100}.\frac{101}{2}=-\frac{101}{2.100}< \frac{-1}{2}\)
Vậy \(A< \frac{-1}{2}\)
