Question

Cho A = 1/2 - 1/3 + 1/4 - 1/5 + .... + 1/98 - 1/99

Chứng minh rằng 0,2 < A < 0,4

Answer 1

Ta có: 

A = 1/2-1/3+1/4-1/5+1/6-1/7+ ..... +1/98-1/99 

=> -A = -1/2+1/3-1/4+1/5-1/6+1/7+ ..... -1/98+1/99 

=> -A = 1/2+1/3+1/4+1/5+ ... +1/98+1/99 - 2.(1/2+1/4+1/6+...+1/98) 

=> -A = 1/2+1/3+1/4+1/5+ ... +1/98+1/99 -(1+1/2+1/3+1/4+...+1/49) 

=> -A = -1+1/50+1/51+1/52+ ... +1/99 


Đặt: B = 1/50+1/51+1/52+ ... +1/99 

=> B = (1/50 +1/51+...+1/59) +(1/60+1/61+...+1/69) +(1/70+1/71+...+1/79) +(1/80+1/81+...+1/89) +(1/90+1/91+...+1/99) 

Do đó: 

10.(1/59)+10.(1/69)+10.(1/79) +10.(1/89)+10.(1/99) < B < 10.(1/50)+10.(1/60)+10.(1/70) +10.(1/80)+10.(1/90) 

=> 10.(1/60)+10.(1/70)+10.(1/80) +10.(1/90)+10.(1/100) < B < 10.(1/50)+10.(1/60)+10.(1/70) +10.(1/80)+10.(1/90) 

=> 1/6 +1/7 +1/8 +1/9 +1/10 < B < 1/5 +1/6 +1/7 +1/8 +1/9 

=> 0,6456 < B < 0,7456 

=> 3/5 < B < 4/5 

=> -2/5 < -1+B < -1/5 

=> -2/5 < -A < -1/5 

=> 1/5 < A <2/5

Answer 2

làm gì dài dòng thế

A = \(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+...+\frac{1}{98}-\frac{1}{99}\)

A = \(\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}\right)+\left(\frac{1}{6}-\frac{1}{7}\right)+...+\left(\frac{1}{98}-\frac{1}{99}\right)\)

Biểu thức trong dấu ngoặc thứ nhất bằng \(\frac{13}{60}\) nên lớn hơn \(\frac{12}{60}\), tức là lớn hơn 0,2,còn các dấu ngoặc sau đều dương, do đó A > 0,2

để chứng minh A < \(\frac{2}{5}\), ta viết :

A = \(\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+\frac{1}{6}\right)-\left(\frac{1}{7}-\frac{1}{8}\right)-...-\left(\frac{1}{97}-\frac{1}{98}\right)-\frac{1}{99}\)

Biểu thức trong dấu ngoặc thứ nhất nhỏ hơn \(\frac{2}{5}\), còn các dấu ngoặc sau đều dương, do đó A < \(\frac{2}{5}\)

Answer 3

A=(\(\frac{1}{2}\)−\(\frac{1}{3}\)+\(\frac{1}{4}\)−\(\frac{1}{5}\))+(\(\frac{1}{6}\)−\(\frac{1}{7}\))+...+(\(\frac{1}{98}\)−\(\frac{1}{99}\))

Biểu thức trong dấu ngoặc thứ nhất bằng1360 nên lớn hơn 1260,tức là lớn hơn 0,2,còn các dấu ngoặc sau đều dương,do đó A>0,2.

Để chứng minh A < 25,ta viết:A=(\(\frac{1}{2}\)−\(\frac{1}{3}\)+\(\frac{1}{4}\)−\(\frac{1}{5}\)+\(\frac{1}{6}\) )-( \(\frac{1}{7}\)\(-\frac{1}{8}\))+...+(\(\frac{1}{97}-\)\(\frac{1}{98}\))−\(\frac{1}{99}\)

Biểu thức trong dấu ngoặc thứ nhất nhỏ hơn 25,còn các dấu ngoặc đều dương,do đó A <25

Chúc bạn học giỏi!