Question

Cho a= 111..1 (có n số 1),b= 1000...05( có n-1 số 0)

Chứng minh rằng ab+1 là SCP

Answer 1

Lời giải:

Để ý rằng:

\(a=\underbrace{111....1}_{\text{n số 1}}=\frac{10^{n}-1}{9}\)

\(b=1\underbrace{00000....0}_{\text{ n-1 số 0}}5=1\underbrace{000....0}_{\text{n số 0}}+5=10^n+5\)

Do đó, \(ab+1=\frac{(10^n-1)(10^n+5)}{9}+1=\frac{10^{2n}+4.10^{2n}+4}{9}\)

\(\Leftrightarrow ab+1=\frac{(10^n+2)^2}{9}=\left (\frac{10^n+2}{3}\right)^2\)

Ta thấy \(10\equiv 1\pmod 3\rightarrow 10^n+2\equiv 1+2\equiv 0\pmod 3\) hay \(10^n+2\vdots 3\Rightarrow \frac{10^n+2}{3}\in\mathbb{Z}\)

Do đó \(ab+1=\left (\frac{10^n+2}{3}\right)^2\) là số chính phương. (đpcm)