Question

Cho các số nguyên a,b,c thỏa mãn ab+bc+ca=1.

Chứng minh rằng: P=(1+a²)(1+b²)(1+c²) là số chính phương.

Answer 1

Lời giải:

Vì $ab+bc+ac=1$ nên:

\(\left\{\begin{matrix} a^2+1=a^2+ab+bc+ac=a(a+b)+c(a+b)=(a+c)(a+b)\\ b^2+1=b^2+ab+bc+ac=b(b+a)+c(a+b)=(b+c)(b+a)\\ c^2+1=c^2+bc+ab+ac=c(c+b)+a(b+c)=(c+a)(c+b)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow P=(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)=(a+b)(a+c)(b+a)(b+c)(c+a)(c+b)\)

\(=[(a+b)(b+c)(c+a)]^2\) là số chính phương

Ta có đpcm.

Answer 2

Ta có 1+a²=ab+ac+bc+a²=(a+b)(a+c)

TT: 1+b²=(a+b)(b+c)

1+c²=(a+c)(b+c)

⇒ P = (a+b)²(b+c)²(a+c)²

⇒ P là số chính phương (vì a,b,c∈Z)