Violympic toán 8

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
X Buồn X

a) Cho các số a, b, c thỏa mãn:a + b + c = 3/2. Chứng minh rằng: a2 + b2 + c2 ≥ 3/4.

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x2 + 2y2 + 2xy – 6x – 8y + 2028?

 Mashiro Shiina
24 tháng 5 2018 lúc 11:18

Khởi động nhẹ nhàng thôi:v

\(a^2+b^2+c^2\ge\dfrac{3}{4}\)

\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2-a-b-c\ge\dfrac{3}{4}-\dfrac{3}{2}=-\dfrac{3}{4}\)

\(\Rightarrow\left(a^2-a+\dfrac{1}{4}\right)+\left(b^2-b+\dfrac{1}{4}\right)+\left(c^2-c+\dfrac{1}{4}\right)\ge0\)

\(\Rightarrow\left(a-\dfrac{1}{2}\right)^2+\left(b-\dfrac{1}{2}\right)^2+\left(c-\dfrac{1}{2}\right)^2\ge0\) (đúng)

\("="\Leftrightarrow a=b=c=\dfrac{1}{2}\)

Phùng Khánh Linh
24 tháng 5 2018 lúc 10:35

a) C1. Áp dụng BĐT : ( x - y)2 ≥ 0 ∀xy

Ta có : a2 + b2 ≥ 2ab ( 1)

b2 + c2 ≥ 2bc ( 2)

c2 + a2 ≥ 2ac ( 3)

Từ ( 1 ; 2 ; 3) ⇒ 2( a2 + b2 + c2) ≥ 2( ab + ab + ac)

⇔ 3( a2 + b2 + c2) ≥ ( a + b + c)2

⇔ a2 + b2 + c2\(\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{3}=\dfrac{9}{4}.\dfrac{1}{3}=\dfrac{3}{4}\)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi : a = b = c = \(\dfrac{1}{2}\)

C2. Áp dụng BĐT Bunhiacopxki , ta có :

( a2 + b2 + c2)( 12 + 12 + 12) ≥ ( a + b + c)2

⇔ a2 + b2 + c2 \(\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{3}=\dfrac{9}{4}.\dfrac{1}{3}=\dfrac{3}{4}\)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi : a = b = c = \(\dfrac{1}{2}\)

 Mashiro Shiina
24 tháng 5 2018 lúc 10:52

Lp 8 học Bunyakovsky :v Giỏi.


Các câu hỏi tương tự
X Buồn X
Xem chi tiết
tth
Xem chi tiết
Lan Vy
Xem chi tiết
Trần thị vân
Xem chi tiết
oooloo
Xem chi tiết
Big City Boy
Xem chi tiết
Quách Thị Ngọc Diệp
Xem chi tiết
Uyen Nguyen
Xem chi tiết
Big City Boy
Xem chi tiết