Question

a) Cho các số a, b, c thỏa mãn:a + b + c = 3/2. Chứng minh rằng: a^2 + b^2 + c^2 ≥ 3/4.

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x^2 + 2y^2 + 2xy – 6x – 8y + 2028?

Answer 1

a)

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có:

\(\left(a+b+c\right)^2\le\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(1^2+1^2+1^2\right)\)

\(\Rightarrow\left(a^2+b^2+c^2\right).3\ge\left(\dfrac{3}{2}\right)^2=\dfrac{9}{4}\)

\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2\ge\dfrac{3}{4}\)

Answer 2

a/ chtt

b/ \(P=x^2+2y^2+2xy-6x-8y+2028\)

\(=\left(x^2+2xy+y^2\right)-6\left(x+y\right)+9+\left(y^2-2y+1\right)+2018\)

\(=\left(x+y\right)^2-6\left(x+y\right)+9+\left(y-1\right)^2+2018\)

\(=\left(x+y-3\right)^2+\left(y-1\right)^2+2018\ge2018\)

Dấu = xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}x=2\\y=1\end{matrix}\right.\)

Vậy....