a) Ta có:
\(a-b=c+d\)
\(\Rightarrow a-b-c-d=0\)
\(\Rightarrow2a\left(a-b-c-d\right)=0\)
\(\Rightarrow2a^2-2ab-2ac-2ad=0\)
Do đó:
\(a^2+b^2+c^2+d^2\)
\(=a^2+b^2+c^2+d^2+2a^2-2ab-2ac-2ad\)
\(=\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(a^2-2ac+c^2\right)+\left(a^2-2ad+d^2\right)\)
\(=\left(a-b\right)^2+\left(a-c\right)^2+\left(a-d\right)^2\)
Vậy với các số nguyên a, b, c, d thỏa mãn a - b = c + d thì a2 + b2 + c2 + d2 luôn là tổng của ba số chính phương
b) Ta có:
\(a+b+c+d=0\)
\(\Rightarrow a+b+c=-d\)
\(\Rightarrow a^2+ab+ac=-da\)
\(\Rightarrow bc-da=a^2+ab+ac+bc\)
\(\Rightarrow bc-da=a\left(a+b\right)+c\left(a+b\right)\)
\(\Rightarrow bc-da=\left(a+b\right)\left(a+c\right)\left(1\right)\)
Ta lại có:
\(a+b+c+d=0\)
\(\Rightarrow a+b+c=-d\)
\(\Rightarrow ac+bc+c^2=-dc\)
\(\Rightarrow ab-cd=ac+bc+c^2+ab\)
\(\Rightarrow ab-cd=c\left(a+c\right)+b\left(a+c\right)\)
\(\Rightarrow ab-cd=\left(a+c\right)\left(b+c\right)\left(2\right)\)
Ta lại có:
\(a+b+c+d=0\)
\(\Rightarrow a+b+c=-d\)
\(\Rightarrow ab+b^2+bc=-db\)
\(\Rightarrow ca-db=ca+ab+b^2+bc\)
\(\Rightarrow ca-db=a\left(b+c\right)+b\left(b+c\right)\)
\(\Rightarrow ca-db=\left(b+c\right)\left(a+b\right)\left(3\right)\)
Thay (1) , (2) và (3) vào biểu thức ( ab - cd )( bc - da )( ca - db ) ta được:
\(\left(ab-cd\right)\left(bc-da\right)\left(ca-db\right)\)
\(=\left(a+c\right)\left(b+c\right)\left(a+b\right)\left(a+c\right)\left(a+b\right)\left(b+c\right)\)
\(=\left(a+c\right)^2.\left(b+c\right)^2.\left(a+b\right)^2\)
\(=\left[\left(a+c\right)\left(b+c\right)\left(a+b\right)\right]^2\)
Vậy với các số nguyên a, b, c, d thỏa mãn a + b + c + d = 0 thì ( ab - cd )( bc - da )( ca - db ) là số chính phương
