Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử
( x2 + y2 + z2 )( x + y + z )2 + ( xy + yz + zx )2
Bài 2:
a) Cho a, b, c, d là các số nguyên thỏa mãn a - b = c + d. Chứng minh rằng a2 + b2 + c2 + d2 luôn là tổng của ba số chính phương
b) Cho a, b, c, d là các số nguyên hỏa mãn a + b + c + d = 0. Chứng minh rằng ( ab - cd )( bc - ad )( ca - bd ) là số chính phương
Bài 3:
Tìm số tự nhiên x sao cho x2 + 2x + 200 là số chính phương
Bài 1:
\(\left(x^2+y^2+z^2\right)\left(x+y+z\right)^2+\left(xy+yz+zx\right)^2\)
\(=\left(x^2+y^2+z^2\right)\left[x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+xz\right)\right]+\left(xy+yz+zx\right)^2\)
Đặt x2 + y2 + z2 = a và xy + yz + zx = b, ta được:
\(a\left(a+2b\right)+b^2\)
\(=a^2+2ab+b^2\)
\(=\left(a+b\right)^2\)
\(=\left(x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx\right)^2\)
Bài 2:
a) Ta có:
\(a-b=c+d\)
\(\Rightarrow a-b-c-d=0\)
\(\Rightarrow2a\left(a-b-c-d\right)=0\)
\(\Rightarrow2a^2-2ab-2ac-2ad=0\)
Do đó:
\(a^2+b^2+c^2+d^2\)
\(=a^2+b^2+c^2+d^2+2a^2-2ab-2ac-2ad\)
\(=\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(a^2-2ac+c^2\right)+\left(a^2-2ad+d^2\right)\)
\(=\left(a-b\right)^2+\left(a-c\right)^2+\left(a-d\right)^2\)
Vậy a2 + b2 + c2 + d2 luôn là tổng của 3 số chính phương với a, b, c, d là số nguyên thỏa mãn a - b = c + d
b) Ta có:
\(a+b+c+d=0\)
\(\Rightarrow a+b+c=-d\)
\(\Rightarrow a\left(a+b+c\right)=-da\)
\(\Rightarrow a^2+ab+ac=-da\)
\(\Rightarrow bc-da=bc+a^2+ab+ac\)
\(\Rightarrow bc-da=b\left(a+c\right)+a\left(a+c\right)\)
\(\Rightarrow bc-da=\left(a+c\right)\left(a+b\right)\left(1\right)\)
Ta có:
\(a+b+c=-d\)
\(\Rightarrow c\left(a+b+c\right)=-cd\)
\(\Rightarrow ac+bc+c^2=-cd\)
\(\Rightarrow ab-cd=ab+ac+bc+c^2\)
\(\Rightarrow ab-cd=a\left(b+c\right)+c\left(b+c\right)\)
\(\Rightarrow ab-cd=\left(b+c\right)\left(a+c\right)\left(2\right)\)
Ta có:
\(a+b+c=-d\)
\(\Rightarrow b\left(a+b+c\right)=-db\)
\(\Rightarrow ab+b^2+bc=-db\)
\(\Rightarrow ca-db=ca+ab+b^2+bc\)
\(\Rightarrow ca-db=a\left(c+b\right)+b\left(b+c\right)\)
\(\Rightarrow ca-db=\left(b+c\right)\left(a+b\right)\left(3\right)\)
Thay (1), (2) và (3) vào biểu thức \(\left(ab-cd\right)\left(bc-da\right)\left(ca-db\right)\) ta được:
\(\left(a+c\right)\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)\left(b+c\right)\left(a+b\right)\)
\(=\left(a+c\right)^2\left(a+b\right)^2\left(b+c\right)^2\)
\(=\left[\left(a+c\right)\left(a+b\right)\left(b+c\right)\right]^2\)
Vậy \(\left(ab-cd\right)\left(bc-da\right)\left(ca-db\right)\) là số chính phương với a, b, c, d là số nguyên thỏa mãn a + b + c + d = 0
Bài 3:
Đặt \(a^2=x^2+2x+200\left(a\in N\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2=\left(x+1\right)^2+199\)
\(\Leftrightarrow a^2-\left(x+1\right)^2=199\)
\(\Leftrightarrow\left(a-x-1\right)\left(a+x+1\right)=1.199\)
Vì a - x - 1 < a + x + 1
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a-x-1=1\\a+x+1=199\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow2x=196\)
\(\Rightarrow x=98\)
