Question

Cho 3 số thực dương x, y, z thỏa mãn: 3y²z²+x²=2(x+yz).

CMR: \(\frac{x^2}{yz}+\frac{4}{\left(x+y\right)^2}+\frac{4}{\left(x+z\right)^2}\ge3\)

Answer 1

Biến đổi tương đương, dễ dàng chứng minh Bđt:

\(\frac{4}{\left(x+y\right)^2}+\frac{4}{\left(x+z\right)^2}\ge\frac{4}{x^2+yz}\)\(\Rightarrow VT\ge\frac{x^2}{yz}+\frac{4}{x^2+yz}\)

Từ \(3y^2z^2+x^2=2\left(x+yz\right)\) ta có:

\(3y^2z^2+x^2\le x^2+1+2yz\)

\(\Rightarrow3y^2z^2-2yz-1\le0\Rightarrow yz\le1\)

Khi đó:

\(VT\ge x^2+\frac{4}{x^2+1}=\left(x^2+1\right)+\frac{4}{x^2+1}-1\ge3\)

Dấu = khi x=y=z=1