Question

cho 3 số thực dương thỏa mãn \(\frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{3}{c}=3\).Chứng minh rằng

\(\frac{27a^2}{c\left(c^2+9a^2\right)}+\frac{b^2}{a\left(4a^2+b^2\right)}+\frac{8c^2}{b\left(9b^2+4c^2\right)}\ge\frac{3}{2}\)

Answer 1

Đặt \(a=\frac{1}{x};b=\frac{2}{y};c=\frac{3}{z}\)

Theo bài ra, ta có:

 x+y+z=3

\(bđt\Leftrightarrow\frac{x^3}{x^2+y^2}+\frac{y^3}{y^2+z^2}+\frac{z^3}{z^2+x^2}\ge\frac{3}{2}\)

Áp dụng kĩ thuật Cau-chy ngược dấu ta có:

\(\frac{x^3}{x^2+y^2}+\frac{y^3}{y^2+z^2}+\frac{z^3}{z^2+x^2}\ge\frac{x+y+z}{2}=\frac{3}{2}\)

Dấu '=' xảy ra <=> a=3;b=2;c=1

Answer 2

*Bài khá giống bạn kia :)

Đặt \(a=\frac{1}{x};b=\frac{2}{y};c=\frac{3}{z}\)

\(\Rightarrow x+y+z=3\)

BĐT cần chứng minh trở thành :

\(\frac{x^3}{x^2+y^2}+\frac{y^3}{y^2+z^2}+\frac{z^3}{z^2+x^2}\ge\frac{3}{2}\)

Áp dụng kĩ thuật Cô Si ngược dấu ta có :

\(\frac{x^3}{x^2+y^2}+\frac{y^3}{y^2+z^2}+\frac{z^3}{z^2+x^2}\ge\frac{x+y+z}{2}=\frac{3}{2}\)

Dấu đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow a=3;b=2;c=1\)