Áp dụng Bất đẳng thức AM-GM dạng cộng mẫu thức ta có :
\(\frac{a^2}{a+b^2}+\frac{b^2}{b+c^2}+\frac{c^2}{c+a^2}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a+b^2+b+c^2+c+a^2}\)
\(=\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a+a^2+b+b^2+c+c^2}=\frac{3^2}{a^2+b^2+c^2+3}=\frac{9}{a^2+1+b^2+1+c^2+1}\)
Theo đánh giá của AM-GM thì ta có :
\(a^2+1\ge2\sqrt[2]{a^2}=2a\)
\(b^2+1\ge2\sqrt[2]{b^2}=2b\)
\(c^2+1\ge2\sqrt[2]{c^2}=2c\)
Cộng theo vế các bất đẳng thức cùng chiều ta được :
\(a^2+1+b^2+1+c^2+1\ge2a+2b+2c\)
Khi đó thì \(\frac{a^2}{a+b^2}+\frac{b^2}{b+c^2}+\frac{c^2}{c+a^2}\ge\frac{9}{2a+2b+2c}=\frac{3}{2}\)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=z=1\)
Vậy bài toán đã được chứng minh hoàn tất
ở mẫu lớn hơn hoặc bằng thì đảo ngược là bé thua hoặc bằng mà bạn ơi
dvc_new: ngược dấu kìa bạn.
\(\frac{a^2}{a+b^2}=\frac{a\left(a+b^2\right)-ab^2}{a+b^2}=a-\frac{ab^2}{a+b^2}\ge a-\frac{ab^2}{2\sqrt{ab^2}}=a-\frac{\sqrt{ab^2}}{2}\)
Khi đó:
\(LHS\ge a+b+c-\frac{\sqrt{a^2b}+\sqrt{b^2c}+\sqrt{c^2a}}{2}\)
Ta cần chứng minh \(a\sqrt{b}+b\sqrt{c}+c\sqrt{a}\le3\)
Cái này đơn giản rồi bạn nhé :D
chứng minh nốt luôn đi bạn =))
