Question

Cho 3 số nguyên dương a, b, c có tổng bằng 1. CMR:

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge9\)

Answer 1

Áp dụng BĐT AM - GM cho 3 số không âm, ta được:

\(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\); \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge9\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge9\left(đpcm\right)\)( Vì a + b + c = 1)

Answer 2

Áp dụng BĐT sờ vác sơ ta có:

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}=9\)