Question

Cho 3 số dương x, y, z, thỏa mãn :x +y + z = 1. CMR 

\(\sqrt{2x^2+xy+2y^2}\) +\(\sqrt{2y^2+yz+2z^2}\)+ \(\sqrt{2z^2+yz+2z^2}\)

mn ơi ! giúp mk mới nha, mk cảm ơn nhiều

Answer 1

Cm cái gì vậy bn. Thiếu đề òi

Answer 2

chứng minh \(\ge\)\(\sqrt{5}\)^, mk viết thiếu mất nha

Answer 3

*Nháp: Bài này sẽ dùng phương pháp cân bằng hệ số

Ta cần tách cái trong căn ra thành 1 tổng bình phương cộng vs 1 hiệu bình phương , cụ thể thế nào thì xem nhé

Ta cần : \(2x^2+xy+2y^2=a\left(x+y\right)^2+b\left(x-y\right)^2\)

\(\Leftrightarrow2x^2+xy+2y^2=x^2\left(a+b\right)+xy\left(2a-2b\right)+y^2\left(a+b\right)\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a+b=2\\2a-2b=1\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=\frac{5}{4}\\b=\frac{3}{4}\end{cases}}}\)

Khi đó \(2x^2+xy+2y^2=\frac{5}{4}\left(x+y\right)^2+\frac{3}{4}\left(x-y\right)^2\)

Đó là phương pháp chung cho dạng bài kiểu này

*Trình bày

Có: \(\sqrt{2x^2+xy+2y^2}=...=\sqrt{\frac{5}{4}\left(x+y\right)^2+\frac{3}{4}\left(x-y\right)^2}\ge\sqrt{\frac{5}{4}\left(x+y\right)^2}=\sqrt{5}.\frac{x+y}{2}\)

Tương tự \(\sqrt{2y^2+yz+2z^2}\ge\sqrt{5}.\frac{y+z}{2}\)

                 \(\sqrt{2z^2+xz+2x^2}\ge\sqrt{5}.\frac{z+x}{2}\)

Cộng 3 vế của bđt lại ta đc \(VT\ge\sqrt{5}\left(x+y+z\right)=\sqrt{5}\)

Dấu "=" <=> x = y = z = ¹/₃