chứng minh \(\ge\)\(\sqrt{5}\), mk viết thiếu mất nha
*Nháp: Bài này sẽ dùng phương pháp cân bằng hệ số
Ta cần tách cái trong căn ra thành 1 tổng bình phương cộng vs 1 hiệu bình phương , cụ thể thế nào thì xem nhé
Ta cần : \(2x^2+xy+2y^2=a\left(x+y\right)^2+b\left(x-y\right)^2\)
\(\Leftrightarrow2x^2+xy+2y^2=x^2\left(a+b\right)+xy\left(2a-2b\right)+y^2\left(a+b\right)\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a+b=2\\2a-2b=1\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=\frac{5}{4}\\b=\frac{3}{4}\end{cases}}}\)
Khi đó \(2x^2+xy+2y^2=\frac{5}{4}\left(x+y\right)^2+\frac{3}{4}\left(x-y\right)^2\)
Đó là phương pháp chung cho dạng bài kiểu này
*Trình bày
Có: \(\sqrt{2x^2+xy+2y^2}=...=\sqrt{\frac{5}{4}\left(x+y\right)^2+\frac{3}{4}\left(x-y\right)^2}\ge\sqrt{\frac{5}{4}\left(x+y\right)^2}=\sqrt{5}.\frac{x+y}{2}\)
Tương tự \(\sqrt{2y^2+yz+2z^2}\ge\sqrt{5}.\frac{y+z}{2}\)
\(\sqrt{2z^2+xz+2x^2}\ge\sqrt{5}.\frac{z+x}{2}\)
Cộng 3 vế của bđt lại ta đc \(VT\ge\sqrt{5}\left(x+y+z\right)=\sqrt{5}\)
Dấu "=" <=> x = y = z = 1/3