Question

Cho 3 số dương a, b, c thỏa mãn\(\frac{1}{a}\) +\(\frac{2}{b}\) +\(\frac{3}{c}\)=6. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P = a + b²+c³

Answer 1

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(P+3=a+b^2+1+c^3+1+1\)\(\ge a+2b+3c\)

Lại có \(\frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{3}{c}=6\) nên nhân theo vế rồi áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz có:

\(6\left(P+3\right)=\left(a+2b+3c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{3}{c}\right)\)

\(\ge\left(\sqrt{a\cdot\frac{1}{a}}+\sqrt{2b\cdot\frac{2}{b}}+\sqrt{3c\cdot\frac{3}{c}}\right)^2\)

\(=\left(1+2+3\right)^2=6^2=36\)

\(\Rightarrow6\left(P+3\right)\ge36\Rightarrow P+3\ge6\Rightarrow P\ge3\)

Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=1\)