Bổ xung đề a,b,c dương
1/ Chứng minh a < 1
Ta có: \(\left(a-1\right)\left(b-1\right)+\left(b-1\right)\left(c-1\right)+\left(c-1\right)\left(a-1\right)\)
\(=ab+bc+ca-2\left(a+b+c\right)+3=9-2.6+3=0\)
Nếu \(1\le a< b< c\) thì \(\left(a-1\right)\left(b-1\right)+\left(b-1\right)\left(c-1\right)+\left(c-1\right)\left(a-1\right)>0\)(mâu thuẫn)
\(\Rightarrow a< 1\)
Chứng minh b > 1
Giả sử \(a< b\le1\Rightarrow ab< 1\)
Ta có: \(9=ab+c\left(a+b\right)< 1+c\left(a+b\right)\)
\(\Rightarrow c\left(a+b\right)>8\)
Ta có: \(\frac{c}{2}+\left(a+b\right)\ge2\sqrt{\frac{c}{2}.\left(a+b\right)}>2\sqrt{\frac{8}{2}}=4\)
Ta có: \(\hept{\begin{cases}a+b+c=6\\a+b+\frac{c}{2}>4\end{cases}}\)
\(\Rightarrow6-c+\frac{c}{2}>4\)
\(\Rightarrow c< 4\)
\(\Rightarrow a+b>2\)(trái giải thuyết)
\(\Rightarrow b>1\)
Tương tự làm phần còn lại nhé.
tui thấy cách cho THCS r` cho a,b,c la so thuc thoa man : a<b<c ; a+b+c=6 ; ab+bc+ac=9 . chung minh rang : 0<a<1<b<3<c<4? | Yahoo Hỏi & Đáp
Áp dụng hệ thức Vi-et dễ thấy \(a,b,c\) là nghiệm của \(f\left(x\right)=\left(x-a\right)\left(x-b\right)\left(x-c\right)=x^3-6x^2+9x-abc\)
Mà định lí Rolle có truyền tụng rằng \(f'\) có nghiệm trên mỗi khoảng \(\left(a,b\right)\) và \(\left(b,c\right)\)
Nhưng \(f'\left(x\right)=3x^2-12x+9=3\left(x-1\right)\left(x-3\right)\)
Có 2 nghiệm là \(x_1=1;x_2=3\). Do đó
\(a< x_1=1< b< x_2=3< c\)
Rõ ràng rằng \(f\left(x\right)< 0\) trên \(\left(-\infty,a\right)\) và \(\left(b,c\right)\)
\(f\left(x\right)>0\) trên \(\left(a,b\right)\) và \(\left(c,\infty\right)\)
Khi \(f\left(4\right)=4-abc=f\left(1\right)>0\), do đó nghiệm lớn nhất thỏa mãn \(c< 4\)
Ta có ĐPCM
