Question

Cho 3 số a,b,c thỏa mãn điều kiên a²+b²+c²=1. Chứng minh rằng

abc+2(1+a+b+c+ab+bc+ac)\(\ge0\)

Answer 1

ta có: \(a^2+b^2+c^2=1\Rightarrow-1\le|a|\le1.\),tương tự với b và c

\(\Rightarrow\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)\ge0\)\(\Leftrightarrow abc+\left(a+b+c+ab+ac+bc+1\right)\ge0.\left(1\right)\)

Ta thấy \(\left(a+b+c+1\right)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac+2a+2b+2c+1.\)

                                                     \(=2+2a+2b+2c+2ab+2bc+2ac\)

                                                        \(=2\left(1+a+b+c+ab+ac+bc\right)\ge0\)

\(\Rightarrow1+a+b+c+ab+bc+ac\ge0\left(2\right)\)

Cộng vế theo vế của (1) và (2) Suy ra \(abc+2\left(1+a+b+c+ab+ac+bc\right)\ge0\left(đpcm\right)\)