Question

Cho 3 số a,b,c thỏa mãn a+b+c=6.

Chứng minh rằng có ít nhất 1 trong 3 phương trình sau có nghiệm:

     x²+ax+1=0   (1)

     x²+bx+1=0   (2)

     x²+cx+1=0   (3)

Answer 1

Cần cm BĐT: với mọi a, b, c ta luôn có \(a^2+b^2+c^2\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\)

Ta có    \(\Delta_1=a^2-4\)  ;   \(\Delta_2=b^2-4\)  ;   \(\Delta_3=c^2-4\)

Do đó   \(\Delta_1+\Delta_2+\Delta_3=a^2+b^2+c^2-12\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}-12=\frac{6^2}{3}-12=0\)

Vậy   \(\Delta_1+\Delta_2+\Delta_3\ge0\)  nên ít nhất phải có   \(\Delta_1\ge0\)  hoặc  \(\Delta_2\ge0\)  hoặc   \(\Delta_3\ge0\)

(vì nếu cả 3 cái cùng < 0 thì tổng của chúng sẽ < 0)

Điều này chứng tỏ phải có ít nhất 1 pt có nghiệm.