Question

Cho 3 số \(a,b,c\) thỏa mãn 2 điều kiện sau :

            \(a+b+c=2008\)và \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{2008}\) 

  Chứng tỏ rằng một trong ba số bằng 2008

Answer 1

\(a+b+c=2008;\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=2008\)

\(\Rightarrow a+b+c=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)

\(\Leftrightarrow\frac{ab+bc+ac}{abc}=\frac{1}{a+b+c}\)

\(\Leftrightarrow\left(ab+bc+ac\right)\left(a+b+c\right)=abc\)

\(\Leftrightarrow\left(ab+bc+ac\right)\left(a+b+c\right)-abc=0\)

\(\Leftrightarrow\left(ab+bc+ac\right)\left(b+c\right)+a\left(ab+ac\right)+abc-abc=0\)

\(\Leftrightarrow\left(ab+bc+ac\right)\left(b+c\right)+a^2\left(b+c\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(ab+bc+ac+a^2\right)\left(b+c\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[b\left(a+c\right)+a\left(a+c\right)\right]\left(b+c\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\)Hoặc a + b = 0 hoặc b + c = 0 hoặc a + c = 0 

Vậy 1 trong 3 số bằng 2008 (đpcm)

Answer 2

Cảm ơn bạn đã giúp mình nhưng bạn bị nhầm 2 dòng đầu . Mình sửa lại cho bạn 2 dòng đầu như sau:

      \(a+b+c=2008;\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{2008}\) ;

    \(\Rightarrow\frac{1}{a+b+c}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)