Question

cho 3 số a,b,c thoả mãn 0 < hoặc= a,b,c<hoặc =2 và a+b+c=3

chứng minh a^2+b^2+c^2< hoặc= 5

Answer 1

Vì \(0\le a,b,c\le2\)nên:

\(abc+\left(2-a\right)\left(2-b\right)\left(2-c\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow abc+2bc-abc+2ac-4c+2ab-4b-4a+8\ge0\)

\(\Leftrightarrow2bc+2ac+2ab-4\left(a+b+c\right)+8\ge0\)

\(\Leftrightarrow2\left(ab+bc+ac\right)-12+8\ge0\)

\(\Leftrightarrow2\left(ab+bc+ac\right)\ge4\)

Do đó: \(a^2+b^2+c^2=\left(a+b+c\right)^2-2\left(ab+bc+ac\right)\le3^2-4=5\)

(Dấu "="\(\Leftrightarrow\)(a,b,c) là các hoán vị của (0,1,2))