Ta có: \(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\forall a,b,c\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca\ge0\forall a,b,c\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2>2ab+2bc+2ca\forall a,b,c\)
\(\Leftrightarrow3\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac\forall a,b,c\)
\(\Leftrightarrow3\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge\left(a+b+c\right)^2\)
\(\Leftrightarrow3\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge2^2=4\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge\frac{4}{3}\)
Dấu '=' xảy ra khi:
\(\left\{{}\begin{matrix}a=b=c\\a+b+c=2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow a=b=c=\frac{2}{3}\)
Vậy: Khi a+b+c=2 thì giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(A=a^2+b^2+c^2\) là \(\frac{4}{3}\) khi \(a=b=c=\frac{2}{3}\)
Ta có: (a−b)2+(b−c)2+(c−a)2≥0∀a,b,c(a−b)2+(b−c)2+(c−a)2≥0∀a,b,c
⇔2a2+2b2+2c2−2ab−2bc−2ca≥0∀a,b,c⇔2a2+2b2+2c2−2ab−2bc−2ca≥0∀a,b,c
⇔2a2+2b2+2c2>2ab+2bc+2ca∀a,b,c⇔2a2+2b2+2c2>2ab+2bc+2ca∀a,b,c
⇔3(a2+b2+c2)≥a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac∀a,b,c⇔3(a2+b2+c2)≥a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac∀a,b,c
⇔3(a2+b2+c2)≥(a+b+c)2⇔3(a2+b2+c2)≥(a+b+c)2
⇔3(a2+b2+c2)≥22=4⇔3(a2+b2+c2)≥22=4
⇔a2+b2+c2≥43⇔a2+b2+c2≥43
Dấu '=' xảy ra khi:
{a=b=ca+b+c=2⇔a=b=c=23{a=b=ca+b+c=2⇔a=b=c=23
Vậy: Khi a+b+c=2 thì giá trị nhỏ nhất của biểu thức A=a2+b2+c2A=a2+b2+c2 là 4343 khi a=b=c=23
