Violympic toán 8

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Phương Khánh

Cho a, b, c thuộc số thực dương, thỏa mãn a2+b2+c2=3

CMR : (a2b+b2c+c2a)(a+b+c)≥9abc

(c2 là c^2 nha...)

tthnew
22 tháng 4 2020 lúc 16:41

Áp dụng BĐT Bunyakovski\(,\) ta có: \(\left(a^2b+b^2c+c^2a\right)\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\right)\ge\left(a+b+c\right)^2\)

Do đó: \(VT\ge\frac{\left(a+b+c\right)^3}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}=\frac{abc\left(a+b+c\right)^3}{ab+bc+ca}\ge9abc\)

Bất đẳng thức cuối tương đương: \(\left(a+b+c\right)^3\ge9\left(ab+bc+ca\right)\) \((\ast)\)

Có: \(3=a^2+b^2+c^2=\left(a+b+c\right)^2-2\left(ab+bc+ca\right)\)

\(\therefore\left(ab+bc+ca\right)=\frac{\left(a+b+c\right)^2-3}{2}\)

\((\ast)\) \(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^3\ge\frac{9}{2}\)\(\Big[(a+b+c)^2-3\Big] \)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{2}\left(2a+2b+2c+3\right)\left(a+b+c-3\right)^2\ge0\)

Bất đẳng thức cuối hiển nhiên.

Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=1\). Done.

tthnew
23 tháng 4 2020 lúc 8:39

Không muốn cách dễ hiểu như trên thì dùng cách khó hiểu một tí cũng hong sao :3

Giả sử \(c=\min\{a,b,c\}\)\(,\) ta có:

\(\text{VT-VP}={\frac { \left( a+b+c \right) \Big[{c}^{2} \left( a-b \right) ^{2} \left( a+b \right) +{a}^{2} \left( b-c \right) \left( b+c \right) \left( a- c \right) \Big]}{ab+ac+bc}}+{\frac {abc \left( 2\,a+2\,b+2\,c+3 \right) \left( a+b+c-3 \right) ^{2}}{2\,ab+2\,ac+2\,bc}} \geqq 0\)

Trần Quốc Khanh
23 tháng 4 2020 lúc 21:12

Thiên tài


Các câu hỏi tương tự
Uyen Nguyen
Xem chi tiết
oooloo
Xem chi tiết
Thảo Vũ
Xem chi tiết
Võ Châu Minh Ngọc
Xem chi tiết
Nguyễn Minh Châu
Xem chi tiết
oooloo
Xem chi tiết
X Buồn X
Xem chi tiết
Đinh Cẩm Tú
Xem chi tiết
Maxx
Xem chi tiết