Question

Cho 3 số a, b, c khác 0 vá \(\left(a+b+c\right)^2\)= \(a^2+b^2+c^2\)

Chứng minh rằng: \(\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}=\frac{3}{abc}\)

Answer 1

từ giả thiết => \(ab+bc+ca=0\)

do đó \(\frac{ab+bc+ca}{abc}=0\) => \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0\)

ta chứng minh bài toán pụ sau 

nếu \(a+b+c=0\) thì \(a^3+b^3+c^3=3abc\)

                                          <=> \(a^3+b^3+3ab\left(a+b\right)+c^2-3abc-3ab\left(a+b\right)=0\)

                                           <=> \(\left(a+b\right)^3+c^3-3ab\left(a+b+c\right)=0\)

                                          <=> \(\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+2ab-ac-bc\right)-3ab\left(a+b+c\right)=0\)

                                         <=> \(\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)=0\) ( luôn đúng vì a+b+c=0)

Áp dụng ta có với \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0\) => \(\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}=\frac{3}{abc}\) (ĐPCM)