\(\frac{a-b}{1+ab}+\frac{b-c}{1+bc}+\frac{c-a}{1+ac}\)
\(=\frac{a-b}{1+ab}+\frac{b-a+a-c}{1+bc}+\frac{c-a}{1+ac}\)
\(=\frac{a-b}{1+ab}+\frac{b-a}{1+bc}+\frac{a-c}{1+bc}+\frac{c-a}{1+ac}\)
\(=\frac{b-a}{1+bc}-\frac{b-a}{1+ab}-\frac{c-a}{1+bc}+\frac{c-a}{1+ac}\)
\(=\left(b-a\right)\left(\frac{1}{1+bc}-\frac{1}{1+ab}\right)-\left(c-a\right)\left(\frac{1}{1+bc}-\frac{1}{1+ac}\right)\)
\(=\left(b-a\right)\left(\frac{1+ab-1-bc}{\left(1+ab\right)\left(1+bc\right)}\right)-\left(c-a\right)\left(\frac{1+ac-1-bc}{\left(1+bc\right)\left(1+ac\right)}\right)\)
\(=\left(b-a\right)\frac{b\left(a-c\right)}{\left(1+ab\right)\left(1+bc\right)}-\left(c-a\right)\frac{c\left(a-b\right)}{\left(1+bc\right)\left(1+ac\right)}\)
Quy đồng:
\(=\frac{\left(b-a\right)b\left(a-c\right)\left(1+ac\right)-\left(c-a\right)c\left(a-b\right)\left(1+ab\right)}{\left(1+ab\right)\left(1+bc\right)\left(1+ac\right)}\)
\(=\frac{\left(b-a\right)b\left(a-c\right)\left(1+ac\right)-\left(a-c\right)c\left(b-a\right)\left(1+ab\right)}{\left(1+ab\right)\left(1+bc\right)\left(1+ac\right)}\)
\(=\frac{\left(b-a\right)\left(a-c\right)\left(b\left(1+ac\right)-c\left(1+ab\right)\right)}{\left(1+ab\right)\left(1+bc\right)\left(1+ac\right)}\)
\(=\frac{\left(b-a\right)\left(a-c\right)\left(b+abc-c-abc\right)}{\left(1+ab\right)\left(1+bc\right)\left(1+ac\right)}\)
\(=\frac{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}{\left(1+ab\right)\left(1+bc\right)\left(1+ac\right)}\)là tích của chúng.
