Question

Cho 2k+1(k thuộc N) số nguyên lẻ là a0,a1,a2,.....,a2k. chứng minh rằng phương trình sau không có nghiệm hữu tỉ, a2k.x^2k + a2k-1.x^2k-1+.....+a1.x=0

Giúp mình nha, mình cần gấp ^-^ ai nhanh cho 3 tick

Answer 1

Gọi phương trình đã cho là f(x) 

Giả sử x = t là nghiệm hữu tỷ của f(x) thì: f(x) = (x - t)Q(x)

f(0) = a₀ = - t.Q(x) (1)

Và f(1) = a_2k + a_2k-1 + ... + a₁ + a₀ = (1 - t).Q(x) (2)

Từ (1) ta có a₀ là số lẻ nên t phải là số lẻ

Từ (2) ta thấy rằng a_2k + a_2k-1 + ... + a₁ + a₀ là tổng của 2k + 1 số lẻ nên là số lẻ. Từ đó ta thấy rằng (1 - t) là số lẻ

Mà (1 - t) là hiệu hai số lẻ nên không thể là số lẻ (mâu thuẫn)

Vậy f(x) không có nghiệm nguyên