Question

Cho 2003 số nguyên dương sao cho 4 số bất kì trong chúng đều lập thành 1 tỉ lệ thức . CMR trong các số đã cho luôn luôn tồn tại ít nhất 501 số bằng nhau

Answer 1

trong 2003 số đã cho chỉ nhận nhiều nhất 4 giá trị khác nhau

Thật vậy: Giả sử chúng có nhiều hơn 4 giá trị khác nhau, gọi a1;a2;a3;a4;a5; là 5 số khác nhau,Giả sử

a1<a2<a3<a4<a5 khi đó với 4 số bất kì a1;a2;a3;a4 ta có a1a2\(\ne\) a3a4;a1a3\(\ne\)a2a4;a1a4\(\ne\) a2a3 tức là 4 số a1;a2;a3;a4 không thể lập nên 1 tỉ lệ thức

=>trái giả thiết của đề bài

Mặt khác 2003=4.500+3,Vì vậy phải có 599+1=501 số bằng nhau