Theo Cauche ta có:
\(\left(x+y\right)^2+\left(\frac{1+xy}{x+y}\right)^2\ge2\left(x+y\right).\frac{1+xy}{x+y}=2\left(1+xy\right)=2+2xy\)
<=> \(x^2+y^2+2xy+\left(\frac{1+xy}{x+y}\right)^2\ge2+2xy\)
<=> \(x^2+y^2+\left(\frac{1+xy}{x+y}\right)^2\ge2+2xy-2xy=2\)=> ĐPCM
Cho 2 số x,y khác 0. Chứng minh rằng:
\(x^2+y^2+\left(\frac{1+xy}{x+y}\right)^2\ge2\)
cho xy khác 0 và x+y =1
chứng minh rằng: \(\frac{x}{y^3-1}+\frac{y}{x^3-1}-\frac{2\left(xy-2\right)}{x^2y^2+3}=0\)
Cho x+y=1 và xy khác 0. Chứng minh rằng:
\(\frac{x}{y^3-1}-\frac{y}{x^3-1}+\frac{2\left(x-y\right)}{x^2y^2+3}=0\)
Cho các số x , y thỏa mãn x + y \(\ne\)0
Chứng minh : \(x^2+y^2+\left(\frac{1+xy}{x+y}\right)^2\ge2\)
Cho x + y + z khác 0 ; x = y + z . Chứng minh rằng :
\(\frac{\left(xy+yz+zx\right)^2-\left(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\right)}{x^2+y^2+z^2}:\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x^2+y^2+z^2}=yz\)
Cho x và y là hai số khác 0 và thỏa mãn x+y khác 0. Chứng minh rằng:
\(\frac{1}{\left(x+y\right)^3}\left(\frac{1}{x^3}+\frac{1}{y^3}\right)+\frac{3}{\left(x+y\right)^4}\left(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\right)+\frac{6}{\left(x+y\right)^5}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)=\frac{1}{x^3y^3}\)
Chứng minh rằng:
a, nếu x+y=1 thì \(\frac{x}{y^3-1}+\frac{y}{x^3-1}+\frac{2\left(xy-2\right)}{x^2y^2+3}=0\)
b, nếu x,y,z khác -1 thì\(\frac{xy+2x+1}{xy+x+y+1}+\frac{yz+2y+1}{yz+z+y+1}+\frac{zx+2z+1}{zx+z+x+1}=3\)
c, Cho x,y,z đôi một khác nhau thỏa mãn\(\frac{x}{y-z}+\frac{y}{z-x}+\frac{z}{x-y}=0\) thì\(\frac{x}{\left(y-z\right)^2}+\frac{y}{\left(z-x\right)^2}+\frac{z}{\left(x-y\right)^2}=0\)
cho x+y=1 và xy khác 0 chứng minh \(\frac{x}{y^3-1}-\frac{y}{x^3-1}+\frac{2\left(x-y\right)}{x^2y^2+3}=0\)
cho x, y là các số thực thỏa mãn x khác y , xy=1. chứng minh \(\frac{\left(x^2+y^2\right)^2}{\left(x-y\right)^2}\ge8\)
