Bình phương của số lẻ chia cho 4 dư 1: (2k + 1)² = 4k(k + 1) + 1 ♦
---------------
Ta cmr m + n và m² + n² không có chung ước nguyên tố lẻ. Thật thế giả sử m + n và m² + n² có chung ước nguyên tố lẻ p => p cũng là ước của (m + n)² - (m² + n²) = 2mn => p là ước của n (hoặc m) => p là ước của m (hoặc n) => m, n có ước chung p > 1, mâu thuẫn với giả thiết.
(m, n) = 1 => m, n không cùng chẵn. Ta xét 2 th
1. m, n cùng lẻ => m + n và m² + n² cùng chẵn. Mặt khác ♦ => m² + n² chia cho 4 dư 2, tức chỉ chia hết cho 2 => (m + n, m² + n²) = 2
2. m, n khác tính chẵn lẻ => m + n và m² + n² cùng lẻ => không có chung ước nguyên tố chẵn, và như trên đã chỉ ra chúng không có chung ước nguyên tố lẻ => (m + n, m² + n²) = 1
