Câu hỏi của so so

Question

Cho 2 số a, b thỏa mãn điều kiện a+b=1. Chứng minh rằng: $a^3+b^3+ab\ge\frac{1}{2}$

Vũ Quyết Chiến · Accepted Answer

(a+b)(a2+ab+b2)+ab=1(a2+2ab+b2-ab)+ab=((a+b)2-ab)+ab=1-ab+ab=1Câu trả lời: (a+b)(a2+ab+b2)+ab=1(a2+2ab+b2-ab)+ab=((a+b)2-ab)+ab=1-ab+ab=1

kudo shinichi · Answer

$a^3+b^3+ab$$=\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)+ab$$=a^2-ab+b^2+ab$$=a^2+b^2$$=a^2+b^2+2ab-2ab$$=\left(a+b\right)^2-2ab$$=1-2ab$Ta có: $a+b=1$$\Rightarrow\left(a+b\right)^2=1^2$$a^2+2ab+b^2=1$Áp dụng BĐT AM-GM ta có:$a^2+2ab+b^2\ge2ab+2.\sqrt{a^2b^2}=2ab+2ab=4ab$$\Leftrightarrow1\ge4ab$$\Leftrightarrow\frac{1}{4}\ge ab$$\Rightarrow a^3+b^3+ab=1-2ab\ge1-2.\frac{1}{4}=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$                                                                                    đpcmP/S: Nếu bạn chưa học AM-GM thì chứng minh bài toán phụ$a^2+b^2\ge2ab$rồi áp dụng nhé~Câu trả lời: $a^3+b^3+ab$$=\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)+ab$$=a^2-ab+b^2+ab$$=a^2+b^2$$=a^2+b^2+2ab-2ab$$=\left(a+b\right)^2-2ab$$=1-2ab$Ta có: $a+b=1$$\Rightarrow\left(a+b\right)^2=1^2$$a^2+2ab+b^2=1$Áp dụng BĐT AM-GM ta có:$a^2+2ab+b^2\ge2ab+2.\sqrt{a^2b^2}=2ab+2ab=4ab$$\Leftrightarrow1\ge4ab$$\Leftrightarrow\frac{1}{4}\ge ab$$\Rightarrow a^3+b^3+ab=1-2ab\ge1-2.\frac{1}{4}=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$                                                                                    đpcmP/S: Nếu bạn chưa học AM-GM thì chứng minh bài toán phụ$a^2+b^2\ge2ab$rồi áp dụng nhé~

Khoá học trên OLM (olm.vn)

Khoá học trên OLM (olm.vn)