Gọi 16 số đó là \(p_1,p_2,...,p_{16}\)
Theo đề bài, ta có \(p_1+p_2+p_3>0\), \(p_4+p_5+p_6>0\), \(p_7+p_8+p_9>0\), \(p_{10}+p_{11}+p_{12}>0\) và \(p_{13}+p_{14}+p_{15}>0\). Do đó \(p_1+p_2+...+p_{14}+p_{15}>0\).
Tương tự, ta có \(p_1+p_2+...+p_{14}+p_{16}>0\)
...
\(p_1+p_3+...+p_{15}+p_{16}>0\)
\(p_2+p_3+...+p_{15}+p_{16}>0\)
Cộng theo vế 16 bất đẳng thức tìm được, ta có \(15\left(p_1+p_2+...+p_{16}\right)>0\) \(\Leftrightarrow p_1+p_2+...+p_{16}>0\) (đpcm)
Để chứng minh rằng tổng của 16 số hữu tỷ khác nhau và khác 0 là số dương, ta sẽ sử dụng phản chứng (proof by contradiction).
Giả sử tổng của 16 số đó không là số dương. Tức là tổng của 16 số đó là số không hoặc số âm.
Đặt tổng của 16 số là S.
Vì 16 số hữu tỷ khác nhau và khác 0, nên ta có thể chia chúng thành 8 cặp số đối xứng: (a₁, a₂), (a₃, a₄), (a₅, a₆), ..., (a₁₅, a₁₆).
Tổng của mỗi cặp số đối xứng là dương vì theo điều kiện đề bài, tổng của 3 số bất kỳ là số dương.
Vậy ta có: S = (a₁ + a₂) + (a₃ + a₄) + (a₅ + a₆) + ... + (a₁₅ + a₁₆).
Giả sử tổng của 16 số đó không là số dương, tức là S ≤ 0.
Vì mỗi cặp số đối xứng có tổng dương, nên ta không thể có trường hợp nào mà S ≤ 0.
Do đó, giả định ban đầu là sai.
Vậy, tổng của 16 số hữu tỷ khác nhau và khác 0 là số dương.
