Question

cho 15 số nguyên a₁;a₂;a₃;...;a₁₅ và b₁;b₂;b₃;...;b₁₅ cũng là các số nguyên đó nhưng theo thứ tự khác.chứng minh rằng (a₁-b₁)(a₂-b₂)(a₃-b₃)...(a₁₅-b₁₅) là số chẵn

Answer 1

giả sử (a₁-b₁)(a₂-b₂)(a₃-b₃)...(a₁₅-b₁₅) là số lẻ

=>a₁-b_1;a₂-b₂;...;a₁₅-b₁₅ là số lẻ

=>a₁-b₁+a₂-b₂+...+a₁₅-b₁₅ là số lẻ  (1) (vì có 16 cặp số lẻ)

mà a₁-b₁+a₂-b₂+...+a₁₅-b₁₅=(a₁+a₂+...+a₁₅)-(b₁+b₂+...+b₁₅)=0 là số chẵn (2)

=>(1) và (2) mâu thuẫn nhau 

=>(a₁-b₁)(a₂-b₂)(a₃-b₃)...(a₁₅-b₁₅) là số chẵn

=>đpcm

Answer 2

Xét tổng:

\(\left(a_1-b_1\right)+\left(a_2-b_2\right)+...+\left(a_7-b_7\right)\)

\(=\left(a_1+a_2+...+a_7\right)-\left(b_1+b_2+...+b_7\right)\)

Vì  a₁;a₂;a₃;...;a₁₅ và b₁;b₂;b₃;...;b₁₅ cũng là các số nguyên đó nhưng theo thứ tự khác nên 

=> \(\left(a_1-b_1\right)+\left(a_2-b_2\right)+...+\left(a_7-b_7\right)=0\)

Suy ra ít nhất có 1 trong 7 số là số chẵn, vì nếu cả 7 số đều lẻ thì tổng của 7 số lẻ là 1 số và do đó nó khác 0.

Nếu 1 trong 7 số là số chẵn thì tích 7 số đó:

\(\left(a_1-b_1\right)+\left(a_2-b_2\right)+...+\left(a_7-b_7\right)\)là số chẵn