Question

Cho \(0\le x\le y\le1\) và 2x+y=2. CMR: \(2x^2+y^2\le\frac{3}{2}\)

Answer 1

Ta có \(2\left(2x^2+y^2\right)=4x^2+2y^2=\left(2x+y\right)^2+y^2-4xy=4+y\left(y-4x\right)\)

\(=4+y\left(3y-4\right)=4+3y^2-4y=3+\left(y-1\right)\left(3y-1\right)\)

Vì \(0\le x\le y\le1\to3y\ge2\to y\ge\frac{2}{3}\to3y-1\ge1>0.\) Thành thử  \(\left(y-1\right)\left(3y-1\right)\le0.\) Vậy \(2\left(2x^2+y^2\right)\le3\to2x^2+y^2\le\frac{3}{2}.\)  Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(y=1,x=\frac{1}{2}.\)