ta có a(1-b) \(\ge\)a2(1-b); b(1-c) \(\ge\)b2(1-c); c(1-a) \(\ge\)c2(1-a)
suy ra (a2+b2+c2)-(a2b+b2c+c2a) \(\le\)a(1-b)+b(1-c)+c(1-a)
=> (a2+b2+c2)-(a2b+b2c+c2a) \(\le\)(a+b+c)-(ab+bc+ca)
mà (1-a)(1-b)(1-c) +abc\(\ge\)0 => 1\(\ge\)(a+b+c)-(ab+bc+ca)
vậy a2+b2+c2 \(\le\)1+a2b+b2c+c2a
dấu đẳng thức xảy ra <=> trong 3 số có 1 số bằng 0 và 1 số bằng 1
Ta có: \(a.\left(1-b\right)\ge a^2.\left(1-b\right)\)
\(b.\left(1-c\right)\ge b^2.\left(1-c\right)\)
\(c.\left(1-a\right)\ge c^2.\left(1-a\right)\)
Suy ra \(\left(a^2+b^2+c^2\right)-\left(a^2b+b^2c+c^2a\right)\le a.\left(1-b\right)+b.\left(1-c\right)+c.\left(1-a\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2+b^2+c^2\right)-\left(a^2b+b^2c+c^2a\right)\le\left(a+b+c\right)-\left(ab+bc+ca\right)\)
Mà \(\left(1-a\right).\left(1-b\right).\left(1-c\right)+abc\ge0\) \(\Rightarrow1\ge\left(a+b+c\right)-\left(ab+bc+ca\right)\)
Vậy \(a^2+b^2+c^2\le1+a^2b+b^2c+c^2a\)
Dấu dẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow\)trong ba số đó có một số bằng 0, một số bằng 1
Trả lời:
Ta có: \(0\le a,b,c\le1\Rightarrow a.\left(1-a\right).\left(1-b\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow a-ab-a^2+ab\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2b\ge ab-a+a^2\)
Tương tự \(b^2c\ge bc-b+b^2\)
\(c^2a\ge ca-c+c^2\)
\(\Rightarrow a^2b+b^2c+c^2a+1\ge1+ab+bc+ca-a-b-c+a^2+b^2+c^2\)
\(\ge\left(1-a\right).\left(1-b\right).\left(1-c\right)+abc+a^2+b^2+c^2\)
\(\ge a^2+b^2+c^2\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\left(a,b,c\right)\in\left\{\left(0,1,1\right),\left(1,0,1\right),\left(1,1,0\right),\left(0,0,1\right),\left(0,1,0\right),\left(1,0,0\right)\right\}\)
đây là toán hay tiếng việt
cái j vậy . đây là toán sao đề là tiếng việt
