I. Nội qui tham gia "Giúp tôi giải toán"
1. Không đưa câu hỏi linh tinh lên diễn đàn, chỉ đưa các bài mà mình không giải được hoặc các câu hỏi hay lên diễn đàn;
2. Không trả lời linh tinh, không phù hợp với nội dung câu hỏi trên diễn đàn.
3. Không "Đúng" vào các câu trả lời linh tinh nhằm gian lận điểm hỏi đáp.
Các bạn vi phạm 3 điều trên sẽ bị giáo viên của Online Math trừ hết điểm hỏi đáp, có thể bị khóa tài khoản hoặc bị cấm vĩnh viễn không đăng nhập vào trang web.
Bổ đề: Cho tam giác ABC và tam giác DEF có ^BAC = ^EDF và \(\frac{AB}{DE}=\frac{AC}{DF}\). Khi đó ^ABC = ^DEF.
Trên cạnh DE,EF của \(\Delta\)DEF lần lượt lấy các điểm G,H sao cho DG=AB, DH=AC.
Dễ thấy \(\Delta\)ABC = \(\Delta\)DGH (c.g.c) => ^ABC = ^DGH, Ta cũng có:
\(\frac{AB}{DE}=\frac{AC}{DF}\) hay \(\frac{DG}{DE}=\frac{DH}{DF}\). Suy ra \(\frac{S_{DHG}}{S_{DHE}}=\frac{S_{DGH}}{S_{DGF}}\)=> SDHE = SDGF
Do đó SEGH = SFHG => Khoảng cách từ E,F đến GH bằng nhau => GH // EF => ^DGH = ^DEF
Vậy nên ^ABC = ^DEF.
Quay trở lại bài toán:
Dựng Q đối xứng với F qua trung điểm P của AC.Gọi I là giao của AF và DE, DE cắt AC tại J.
Ta dễ thấy \(\Delta\)CPF = \(\Delta\)APQ (c.g.c) => FC=QA => QA = FB. Đồng thời ^PCF = ^PAQ.
Lại có biến đổi góc: ^DAQ = 3600 - ^DAB - ^BAC - ^PAQ = 3600 - 600 - ^BAC - ^PCF
= 3000 - ^BAC - ^ACB - 300 = 2700 - ^BAC - ^ACB = ^ABC + 900 = ^ABC + ^FBC + ^DBA = ^DBF
Xét \(\Delta\)DQA và \(\Delta\)DFB: DA=DF, ^DAQ = ^DBF, QA=FB => \(\Delta\)DQA = \(\Delta\)DFB (c.g.c)
=> DQ = DF và ^ADQ = ^BDF. Từ đây ^QDF = ^ADB = 600. Do đó \(\Delta\)QFD đều.
Mà P là trung điểm QF nên \(\Delta\)DPF nửa đều. Qua ĐL Pytagore ta dễ có \(\frac{PD}{PF}=\sqrt{3}\)
Để ý \(\Delta\)EPA nửa đều => \(\frac{PE}{PA}=\sqrt{3}\)=> \(\frac{PD}{PF}=\frac{PE}{PA}\).
Kết hợp với ^APF = ^EPD (=900 + ^APD) suy ra ^PAF = ^PED (Theo bổ đề) hay ^JAI = ^JEP
Mà ^AJI = ^EJP (Đối đỉnh) nên ^AIJ = ^EPJ = 900. Như vậy AF vuông góc DE (đpcm).
