Question

Ch x, y là hai số dương thỏa mãn: \(x^2+y^2=4\)

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(E=\left(x+\frac{1}{y}\right)^2+\left(y+\frac{1}{x}\right)^2\)

Mình cần gấp, ai làm nhanh và đúng nhất được 3 ticks!

Answer 1

Ta có:

\(E\: =x^2+\frac{2x}{y}+\frac{1}{y^2}+y^2+\frac{2y}{x}+\frac{1}{x^2}=\left(x^2+y^2\right)+2\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)+\left(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\right)\)

\(\Rightarrow E\ge4+4+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}=8+\frac{x^2+y^2}{x^2y^2}\)

Do:   \(4=x^2+y^2\ge2xy\Rightarrow xy\le2\Rightarrow x^2y^2\le4\Rightarrow\frac{4}{x^2y^2}\ge1\)

\(\Rightarrow E\ge8+1=9\)

Dấu bằng xảy ra khi x=y=\(\sqrt{2}\)