Question

Câu 6. Trong mặt phẳng tọa độ, parabol \(^{x^2}\)+4x cắt đường thẳng y = 5x – m – 1 tại hai điểm phân biệt có hoành độ a;b thỏa mãn \(a^2\) + ab + 3b = 7. Khi đó đường thẳng đã cho đi qua điểm nào ? A. (1;11) B. (2;5) C. (5;7) D. (4;6)

Answer 1

Lời giải:

PT hoành độ giao điểm của parabol và đường thẳng:

$x^2+4x-5x+m+1=0$

$\Leftrightarrow x^2-x+m+1=0(*)$

Để (P) cắt (d) tại hai điểm phân biệt có hoành độ $a,b$ thì PT $(*)$ phải có 2 nghiệm phân biệt $a,b$.

Điều này xảy ra khi $\Delta (*) = 1-4(m+1)>0$
$\Leftrightarrow m+1< \frac{1}{4}\Leftrightarrow m< \frac{-3}{4}$

Áp dụng định lý Viet, với $a,b$ là nghiệm của $(*)$ thì:

$a+b=1$

$ab=m+1$

Khi đó:

\(a^2+ab+3b=7\)

$\Leftrightarrow a(a+b)+3b=7$

$\Leftrightarrow a+3b=7$

$\Leftrightarrow a+b+2b=7$

$\Leftrightarrow 1+2b=7\Leftrightarrow b=3$

$a=1-b=1-3=-2$

$m+1=ab=(-2).3=-6$

$\Leftrightarrow m=-7$

Khi đó: $y=5x-m-1=5x+7-1=5x+6$
Thay hoành độ và tung độ của các điểm đã cho vào PT $y=5x+6$, ta thấy điểm $A(1;11)$ là điểm duy nhất thỏa mãn. 

$\Rightarrow A\in (d)$