Question

Câu 1

a) Chứng minh bất đẳng thức (a + 1)² ≥ 4a

b) Cho a, b, c > 0 và abc = 1. Chứng minh: (a + 1)(b + 1)(c + 1) ≥ 8

Answer 1

a )Ta có : \(\left(a-1\right)^2\ge0\forall a\)

\(\Leftrightarrow a^2-2a+1\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2+2a+1\right)-4a\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+1\right)^2-4a\ge0\)

\(\Rightarrow\left(a+1\right)^2\ge4a\) (đpcm)

b ) Áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có :

\(a+1\ge2\sqrt{a}\)

\(b+1\ge2\sqrt{b}\)

\(c+1\ge2\sqrt{c}\)

\(\Rightarrow\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)\ge2\sqrt{a}.2\sqrt{b}.2\sqrt{c}=8\sqrt{abc}=8\) (đpcm)

( Dấu "=" xảy ra <=> a = b = c = 1 )