Nhanh vậy ta:
chơi khác kiểu không trùng ai hết.
câu 1
\(P=\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}=\frac{y^2+x^2}{\left(xy\right)^2}=\frac{20}{\left(xy\right)^2}\)(1)
Ta lại có:
\(\left(x-y\right)^2\ge0\Rightarrow x^2+y^2\ge2xy\Rightarrow xy\le\frac{20}{2}=10\)(2) Đẳng thức khi x=y
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow P_{min}=\frac{20}{100}=\frac{1}{5}\) Khi x=y=\(\sqrt{10}\)
câu 2: Không cần đk (x+y+z)=1
\(\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y}=1\) (1) =>Dk \(\hept{\begin{cases}x+z\ne0\\y+z\ne0\\x+y\ne0\end{cases}\Rightarrow\left(x+y+z\right)\ne0}\)
Nhân hai vế (1) với (x+y+z khác 0)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y}\right)\left(x+y+z\right)=1.\left(x+y+z\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{x+y}\right)+\left(x+y+z\right)=\left(x+y+z\right)\)
\(\Rightarrow\left(\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{x+y}\right)=0\)
Câu 1:
Áp dụng BĐT \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\) ta có:
\(P=\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\ge\frac{4}{x^2+y^2}=\frac{4}{20}=\frac{1}{5}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}x,y>0\\x^2+y^2=20\\x=y\end{cases}}\Rightarrow x=y=\sqrt{10}\)
Vậy MinP=\(\frac{1}{5}\Leftrightarrow x=y=\sqrt{10}\)
Câu 2:
Từ \(x+y+z=1\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=1-\left(y+z\right)\\y=1-\left(x+z\right)\\z=1-\left(x+y\right)\end{cases}}\).Thay vào ta có
\(\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{x+z}+\frac{z^2}{x+y}=\frac{x\left[1-\left(y+z\right)\right]}{y+z}+\frac{y\left[1-\left(x+z\right)\right]}{x+z}+\frac{z\left[1-\left(x+y\right)\right]}{x+y}\)
\(=\frac{x-x\left(y+z\right)}{y+z}+\frac{y-y\left(x+z\right)}{x+z}+\frac{z-z\left(x+y\right)}{x+y}\)
\(=\frac{x}{y+z}-\frac{x\left(y+z\right)}{y+z}+\frac{y}{x+z}-\frac{y\left(x+z\right)}{x+z}+\frac{z}{x+y}-\frac{z\left(x+y\right)}{x+y}\)
\(=\frac{x}{y+z}-x+\frac{y}{x+z}-y+\frac{z}{x+y}-z\)
\(=\left(\frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y}\right)-\left(x+y+z\right)=1-1=0\)
Câu 1:
Ta có:
\(\frac{1}{x^2}+\frac{x^2}{100}\ge\frac{2}{10}\left(1\right)\)
\(\frac{1}{y^2}+\frac{y^2}{100}\ge\frac{2}{10}\left(2\right)\)
Lấy (1) + (2) vế theo vế ta được
\(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{x^2+y^2}{100}\ge\frac{2}{10}+\frac{2}{10}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\ge\frac{4}{10}-\frac{x^2+y^2}{100}=\frac{4}{10}-\frac{20}{100}=\frac{1}{5}\)
Dấu = xaey ra khi \(x^2=y^2=10\)hay \(x=y=\sqrt{10}\)
Bài 2/ Ta có:
\(\hept{\begin{cases}x+y+z=1\left(1\right)\\\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y}=1\left(2\right)\end{cases}}\)
Lấy (1) . (2) vế theo vế ta được
\(\left(x+y+z\right)\left(\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y}\right)=1\)
\(=\frac{x^2}{y+z}+x+\frac{y^2}{z+x}+y+\frac{z^2}{x+y}+z=1\)
\(=\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{x+y}+\left(x+y+z\right)=1\)
\(=\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{x+y}+1=1\)
\(=\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{x+y}=0\)
Dễ thì vô chơi thêm 1 cách nữa đi cho đông vui luôn b :)
Khó dẽ không biết khi tham gia không được phép trùng vói cái đã có
Câu 1:
Thiếu đẳng thức: \(x=y=+-\sqrt{10}\)
Như vậy đk x,y>0 câu 1 thừa
Góp vui một câu
\(Bunhacop\\ \Rightarrow\left(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\right)\left(x^2+y^2\right)\ge\left(\frac{1}{x}.x+\frac{1}{y}y\right)^2=4\) đẳng thức khi 1/x^2=1/y^2=> cần điều kiện x, y>0
\(\Rightarrow Min\left(p\right)=\frac{4}{20}=\frac{1}{5}\)đẳng thức khi x=y=+-căn (10)
mình lớp 8 : Chưa biết Bunhacop là gì?
ai còn cách khác port lên một thể đi nào!
Dễ mà nhỉ?
Riêng của ngonhuminh, thực chất cho \(x+y+z=1\) là để cho \(x+y+z\ne0\). Thật ra \(x+y+z=100000\) cũng được.
Còn khi \(x+y,y+z,z+x\) cùng khác 0 không có nghĩa là \(x+y+z\ne0\).
Lấy ví dụ: \(2+2\), \(2+\left(-4\right)\) và \(\left(-4\right)+2\) cùng khác 0 nhưng \(2+2+\left(-4\right)=0\) đấy thôi.
Ta cũng có thể suy ra \(x+y+z\ne0\) như sau (nếu không có gt \(x+y+z=1\))
\(\frac{x}{y+z}+1+\frac{y}{z+x}+1+\frac{z}{x+y}+1=4\)
\(\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}\right)=4\).
Tới đây thấy ngay \(x+y+z\ne0\)
p/s từ điều kiện (2) \(\frac{x}{z+y}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y}=1\\ \)kết hợp với điều kiện mẫu khác không đủ để (x+y+z khác không)
không thể xẩy ra:
c/m: g/s x+y+z=0 như vậy x+y=-z; y+z=-x; x+z=-y (*)
thay (*) vào (2)
\(\frac{-x}{x}+-\frac{y}{y}-\frac{z}{z}=-1-1-1=-3\ne-1\)
=> x+y+z khác không
