Câu 1
Rút gọn các biểu thức sau:
a. 2x(3x + 2) - 3x(2x + 3)
b. (x + 2)3 + (x - 3)2 - x2(x + 5)
c. (3x3 - 4x2 + 6x) : 3x
Câu 2
Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 2x3 - 12x2 + 18x
Câu 3
Tìm x, biết: 3x(x - 5) - x2 + 25 = 0
Câu 4 Cho hình bình hành ABCD (AB > AD). Gọi E và K lần lượt là trung điểm của CD và AB. BD cắt AE, AC, CK lần lượt tại N, O và I. Chứng minh rằng:
a. Tứ giắc AECK là hình bình hành.
b. Ba điểm E, O, K thẳng hàng.
c. DN = NI = IB
d. AE = 3KI
Câu 5 Cho x, y là hai số thực tùy ý, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
P = x2 + 5y2 + 4xy + 6x + 16y + 32
Câu 1:
a) 2x(3x+2) - 3x(2x+3) = 6x^2+4x - 6x^2-9x = -5x
b) \(\left(x+2\right)^3+\left(x-3\right)^2-x^2\left(x+5\right)\)
\(=x^3+6x^2+12x+8+x^2-6x+9-x^3-5x^2\)
\(=2x^2+6x+17\)
c) \(\left(3x^3-4x^2+6x\right)\div\left(3x\right)=x^2-\dfrac{4}{3}x+2\)
Câu 2:
\(2x^3-12x^2+18x=2x\left(x^2-6x+9\right)=2x\left(x^2-2.x.3+3^2\right)=2x\left(x-3\right)^2\)
Câu 3:
\(3x\left(x-5\right)-x^2+25=0\)
\(\Leftrightarrow3x^2-15x-x^2+25=0\)
\(\Leftrightarrow2x^2-15x+25=0\)
\(\Leftrightarrow2x^2-5x-10x+25=0\)
\(\Leftrightarrow x\left(2x-5\right)-5\left(2x-5\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(2x-5\right)\left(x-5\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}2x-5=0\\x-5=0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{5}{2}\\x=5\end{matrix}\right.\)
Câu 4:
a) \(E,K\) là trung điểm \(CD,AB\) nên \(AK=\dfrac{1}{2}AB,CE=\dfrac{1}{2}CD\) mà \(AB=CD\) nên \(AK=CE\).
Tứ giác \(AECK\) có \(AK=CE,AK//CE\) nên \(AECK\) là hình bình hành.
b) \(ABCD\) là hình bình hành nên hai đường chéo \(AC,BD\) cắt nhau tại trung điểm \(O\) của mỗi đường.
\(AECK\) là hình bình hành nên hai đường chéo \(AC,EK\) cắt nhau tại trung điểm mỗi đường, \(O\) là trung điểm \(AC\) nên \(O\) cũng là trung điểm \(EK\).
suy ra \(E,O,K\) thẳng hàng.
c) Tương tự ý a) dễ dàng chứng minh \(KBCE\) là hình bình hành suy ra hai đường chéo \(KC,EB\) cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.
Xét tam giác \(BEK\) có hai đường trung tuyến \(BO,KC\) cắt nhau tại \(I\) nên \(I\) là trọng tâm tam giác \(BEK\) suy ra \(BI=\dfrac{2}{3}BO\).
Tương tự ta cũng chứng minh được \(DN=\dfrac{2}{3}DO\) .
Mà \(DO=BO\) suy ra \(DN=NI=IB\)
.d) Gọi \(H\) là giao điểm của \(KC\) và \(EB\).
\(I\) là trọng tâm tam giác \(BEK\) suy ra \(KI=\dfrac{2}{3}KH\).
\(KH\) là đường trung bình trong tam giác \(BAE\) suy ra \(KH=\dfrac{1}{2}AE\)
suy ra \(KI=\dfrac{2}{3}.\dfrac{1}{2}AE\Leftrightarrow AE=3KI\).
Câu 5:
\(P=x^2+5y^2+4xy+6x+16y+32\)
\(=x^2+4y^2+4xy+6x+12y+9+y^2+4y+4+19\)
\(=\left(x+2y+3\right)^2+\left(y+2\right)^2+19\ge19\)
Dấu \(=\)xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}x+2y+3=0\\y+2=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=-2\end{matrix}\right.\).
