Câu 1 :
Cho \(A=5^{50}-5^{48}+5^{46}-5^{44}+...+5^6-5^4+5^2-1\)
a. Tính A
b. Tìm số tự nhiên n biết \(26A+1=5^n\)
c. Tìm số dư trong phép chia A cho 100
Câu 2 :
Tìm stn x, biết :
a. 1 +3 + 5 + 7 + 9 + ... + ( 2x - 1 ) = 225
b. \(2^x+2^{x+1}+2^{x+2}+2^{x+3}+...+2^{x+2015}=2^{2019}-8\)
Bài 3 :
a. Cho abc chia hết cho 37. Cmr : cba chia hết cho 37
b. Tìm x,y biết x . y + 12 = x + y
Bài 4 :
Tìm stn amin sao cho a chia 2 dư 1, a chia 3 dư 1, a chia 5 dư 4 và a chia 7 dư 3.
Bài 5 :
1. Cho 30 điểm phân biệt trong đó có a điểm thẳng hàng, cứ qua 2 điểm ta vẽ được 1 đường thẳng. Tìm a, biết số đường thẳng tạo thành là 421 đường thẳng.
2. Vẽ đoạn thẳng AB = 6cm. lấy hai điểm C và D nằm giữa A và B sao cho AC +BD = 9cm.
a. Chứng tỏ D nằm giữa A và C.
b. Tính độ dài đoạn thẳng CD.
\(2^x+2^{x+1}+2^{x+2}+...+2^{x+2015}=2^{2019}-8\)
\(\Leftrightarrow2^x\left(1+2+2^2+...+2^{2015}\right)=2^{2019}-8\)
Đặt \(A=1+2+2^2+...+2^{2015}\)
\(\Rightarrow2A=2+2^2+2^3...+2^{2016}\)
\(\Rightarrow2A-A=2+2^2+2^3...+2^{2016}-1-2-2^2-2^{2015}\)
\(\Rightarrow2A-A=2^{2016}-1\)
\(\Rightarrow2^x\left(2^{2016}-1\right)=2^{2019}-8\)
\(\Rightarrow2^{x+2016}+2^x=2^{2019}-2^3\)
\(\Leftrightarrow x=3\)
\(1+3+5+7+9+...+\left(2x-1\right)=225\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(2x-1+1\right)\left[\left(2x-1-1\right)\div2+1\right]}{2}=225\)
\(\Leftrightarrow\frac{2x\left[\left(2x-2\right)\div2+1\right]}{2}=225\)
\(\Leftrightarrow x\left[\left(2x-2\right)\div2+1\right]=225\)
\(\Leftrightarrow x\left[2\left(x-1\right)\div2+1\right]=225\)
\(\Leftrightarrow x\left[x-1+1\right]=225\)
\(\Leftrightarrow x^2=225\)
\(\Leftrightarrow x^2=15^2\Leftrightarrow x=15\)
Câu 1 :
a. \(A=5^{50}-5^{48}+5^{46}-5^{44}+...+5^6-5^4+5^2-1\)
\(\Rightarrow25A=5^2.\left(5^{50}-5^{48}+5^{46}-5^{44}+...+5^6-5^4+5^2-1\right)\)
\(=5^{52}-5^{50}+5^{48}-5^{46}+...+5^8-5^6+5^4-5^2\)
\(\Rightarrow25A+A=5^{52}-1\)
Vậy \(A=\left(5^{52}-1\right):26\)
Câu 1 :
b. Ta có :
\(26A+1=5^n\)mà \(26A=5^{52}-1\)nên \(5^{52}-1+1=5^n\)
\(\Rightarrow5^{52}=5^2\Leftrightarrow n=52\)
Vậy \(n=52\)
Câu 1 :
c. Ta có :
\(A=5^{50}-5^{48}+5^{46}-5^{44}+...+5^6-5^4+5^2-1\)( có 26 số hạng )
\(=\left(5^{50}-5^{48}\right)+\left(5^{46}-5^{44}\right)+...+\left(5^6-5^4\right)+5^2-1\)
\(=5^{48}.\left(5^2-1\right)+5^{44}.\left(5^2-1\right)+...+5^4.\left(5^2-1\right)+5^2-1\)
\(=5^{48}.24+5^{44}.24+...+5^4.24+24\)
\(=5^{46}.25.24+5^{42}.25.25+...+5^2.25.24+24\)
\(=5^{46}.600+5^{42}.600+...+5^2.600+24\)
\(=6.100\left(5^{46}+5^{42}+...+5^2\right)+24\)
\(\Leftrightarrow\)Số dư khi chia A cho 100 là 24
Câu 2 :
a. \(1+3+5+7+9+...+\left(2x-1\right)=225\)
Với mọi \(x\in N\)ta có \(2x-1\)là số lẻ.
Đặt \(A=1+3+5+7+9+...+\left(2x-1\right)\)
\(\Rightarrow A\)là tổng của các số lẻ liên tiếp từ 1 đến 2x - 1
Số số hạng của A là : \(\left(2x-1-1\right):2+1=x\)( số hạng )
\(\Rightarrow A=\left[\left(2x-1\right)+1\right].x:2=x^2\)
Mà \(A=225\Rightarrow x^2=225=15^2\)
\(\Leftrightarrow x=15\)
Vậy \(x=15\)
Câu 2 :
b. \(2^x+2^{x+1}+2^{x+2}+2^{x+3}+...+2^{x+2015}=2^{2019}-8\)
\(\Rightarrow2^x.1+2^x.2+2^x.2^2+2^x.2^3+...+2^x.2^{2015}=2^{2019}-2^3\)
\(\Rightarrow2^x.\left(1+2+2^2+2^3+...+2^{2015}\right)=2^3.\left(2^{2016}-1\right)\)
Đặt \(M=1+2+2^2+2^3+2^4+...+2^{2016}\)
\(\Rightarrow M=2^{2016}-1\)
Vậy ta có \(2^x.\left(2^{2016}-1\right)=2^3.\left(2^{2016}-1\right)\)
\(\Rightarrow2^x=2^3\Leftrightarrow x=3\)
Vậy \(x=3\)
Câu 3 :
a. Ta có : \(abc⋮37\Rightarrow100.abc⋮37\Rightarrow abc00⋮37\)
\(\Rightarrow\left(ab.1000+c00\right)⋮37\)
\(\Rightarrow\left[ab.999+\left(c00+ab\right)\right]⋮37\)
\(\Rightarrow\left(ab.999+cab\right)⋮37\)
Mà \(ab.999=ab.37.27⋮37\)
\(\Rightarrow cba⋮37\)
Câu 3 :
b. Ta có :
\(x.y+12=x+y\Rightarrow x.y-x-y+12=0\)
\(\Rightarrow x.\left(y-1\right)-y+12=0\)
\(\Rightarrow x.\left(y-1\right)-y+12=0\)
\(\Rightarrow x.\left(y-1\right)-\left(y-1\right)+11=0\)
\(\Rightarrow\left(x-1\right).\left(y-1\right)=-11\left(1\right)\)
Vì \(x,y\in Z\)nên \(x-1\in Z;y-1\in Z\)
Do đó từ \(\left(1\right)\Rightarrow x-1;y-1\)là các ước của \(-11\)
\(Ư\left(-11\right)\in\left\{-11;-1;1;11\right\}\)
\(\rightarrow\forall x-1=-11\)thì \(y-1=1\Rightarrow x=-10;y=2\left(tm\right)\)
\(\rightarrow\forall x-1=-1\)thì \(y-1=11\Rightarrow x=0;y=12\left(tm\right)\)
\(\rightarrow\forall x-1=1\)thì \(y-1=-11\Rightarrow x=2;y=-10\left(tm\right)\)
\(\rightarrow\forall x-1=11\)thì \(y-1=-1\Rightarrow x=12;y=0\left(tm\right)\)
Vậy \(\left(x;y\right)\in\left\{\left(-10;2\right);\left(0;12\right);\left(2;-10\right);\left(12;0\right)\right\}\)
Bài 4 :
Vì a chia 2 dư 1; a chia 3 dư 1; a chia 5 dư 4; a chia 7 dư 3
Nên \(a-1⋮2;a-1⋮3;a-4⋮5;a-3⋮7\)
\(\Rightarrow a+1⋮2;a+2⋮3;a+1⋮5;a+4⋮7\)
\(\Rightarrow a+11⋮2;a+11⋮3;a+11⋮5;a+11⋮7\)
\(\Rightarrow a+11\in BC\left(2;3;5;7\right)\)
Mà \(a_{min}\Rightarrow a+11\in BCNN\left(2;3;5;7\right)\)
Mà các số 2;3;5;7 nguyên tố cùng nhau
\(\Rightarrow BCNN\left(2;3;5;7\right)=2.3.5.7=210\)
\(\Rightarrow a+11=210\)
\(\Leftrightarrow a=199\)
Vậy \(a=199\)
