Bài 3. CÁC HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VÀ GIẢI TAM GIÁC

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
NBH Productions

Các đường phân giác của ABC kéo dài cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ở các điểm L, M, N. Chứng minh : \(S_{MLN}=\frac{1}{2}p_{ABC}\cdot R\) với \(p_{ABC}=\frac{AB+BC+CA}{2}\)

@Akai Haruma

Akai Haruma
1 tháng 7 2019 lúc 18:13

Lời giải:

$AL,BM,CN$ cắt $MN, LN, ML$ lần lượt tại $H, Q,K$

Ta có \(\widehat{MIA}=\widehat{IBA}+\widehat{BAI}=\frac{\widehat{B}}{2}+\frac{\widehat{A}}{2}\)

\(\widehat{MAI}=\widehat{IAC}+\widehat{CAM}=\widehat{IAC}+\widehat{CBM}=\frac{\widehat{A}}{2}+\frac{\widehat{B}}{2}\)

\(\Rightarrow \widehat{MIA}=\widehat{MAI}\Rightarrow \triangle MAI\) cân tại $M$ (1)

Mặt khác \(\widehat{MIH}+\widehat{IMH}=\widehat{MIA}+\widehat{BCN}=\frac{\widehat{B}}{2}+\frac{\widehat{A}}{2}+\frac{\widehat{C}}{2}=90^0\)

\(\Rightarrow \widehat{IHM}=90^0\Rightarrow MN\perp LH\) (2)

Tương tự: $MQ\perp LN, NK\perp ML$

-----------------------------------

Ta có tính chất quen thuộc: Cho tam giác $XYZ$ nội tiếp $(O')$, các đường cao $XU, YS, ZT$. Khi đó \(S_{XYZ}=\frac{TS+SU+TU}{2}R\)

Chứng minh:

Dễ thấy tứ giác $TSZY$ nội tiếp. Do đó $\widehat{XTS}=\widehat{XZY}$

Kẻ tiếp tuyến $Xt$ của $(O')$. Theo tính chất tiếp tuyến thì $\widehat{tXT}=\widehat{XZY}$

$\Rightarrow \widehat{XTS}=\widehat{tXT}$. Hai góc này ở vị trí so le trong nên $Xt\parallel TS$. Mà $Xt\perp XO'$ (tính chất tiếp tuyến) nên $XO'\perp TS$

Tương tự: $ZO'\perp SU, YO'\perp TU$

$S_{XYZ}=S_{XTO'S}+S_{YTO'U}+S_{ZSO'U}= \frac{XO'.TS}{2}+\frac{YO'.TU}{2}+\frac{ZO'.SU}{2}=R.\frac{TS+TU+SU}{2}$ (đpcm)

------------------------

Áp dụng tính chất trên vào bài toán, với tam giác $LMN$ có các đường cao $LH, MQ, NK$ (đã cmt) thì:

$S_{MNL}=R.\frac{HQ+QK+HK}{2}$ $(*)$

Mặt khác:

Từ (1);(2) ta suy ra tam giác cân $MAI$ có đường cao $MH$ nên $MH$ đồng thời cũng là trung tuyến. Do đó $H$ là trung điểm của $AI$. Tương tự $K,Q$ cũng là trung điểm của $CI, BI$

Theo định lý Ta-let: $HQ=\frac{AB}{2}; HK=\frac{AC}{2}; QK=\frac{BC}{2}$ $(**)$

Từ $(*)$ và $(**)$ suy ra $S_{MNL}=R.\frac{AB+BC+AC}{4}=R.\frac{p_{ABC}}{2}$ (đpcm)

Akai Haruma
1 tháng 7 2019 lúc 18:15

Bài 3.  CÁC HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VÀ GIẢI TAM GIÁC

Akai Haruma
18 tháng 6 2019 lúc 11:49

Bài 3.  CÁC HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VÀ GIẢI TAM GIÁC

Bi Bi
29 tháng 6 2019 lúc 10:55

câu này hay thế!


Các câu hỏi tương tự
Thảo Vi
Xem chi tiết
Hồng Miêu
Xem chi tiết
Lâm Ánh Yên
Xem chi tiết
Xuân Huy
Xem chi tiết
Nguyễn Ngọc
Xem chi tiết
ĐỖ THỊ THANH HẬU
Xem chi tiết
Miner Đức
Xem chi tiết
Thủy Nguyễn
Xem chi tiết
Ngọc Lan
Xem chi tiết