Đặt A là biểu thức ở vế trái
Theo bất đẳng thức tam giác: \(\hept{\begin{cases}b+c>a\\c+a>b\\a+b>c\end{cases}\Rightarrow}\hept{\begin{cases}b+c-a>0\\c+a-b>0\\a+b-c>0\end{cases}}\)
Đặt: \(\hept{\begin{cases}b+c-a=x\\a+c-b=y\\a+b-c=z\end{cases}\left(x;y;z>0\right)\Rightarrow\hept{\begin{cases}a=\frac{y+z}{2}\\b=\frac{x+z}{2}\\c=\frac{x+y}{2}\end{cases}}}\)
Khi đó: \(A=\frac{\frac{y+z}{2}}{x}+\frac{\frac{x+z}{2}}{y}+\frac{\frac{x+y}{2}}{z}\)
\(=\frac{y+z}{2x}+\frac{x+z}{2y}+\frac{x+y}{2z}\)
\(=\frac{1}{2}\left[\frac{y+z}{x}+\frac{x+z}{y}+\frac{x+y}{z}\right]\)
\(=\frac{1}{2}\left[\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)+\left(\frac{y}{z}+\frac{z}{y}\right)+\left(\frac{x}{z}+\frac{z}{x}\right)\right]\)
\(\ge\frac{1}{2}\left(2+2+2\right)=3\)
Dấu "=" xảy ra khi x = y = z
BN có thể giải thích cho mk vì sao \(\frac{1}{2}\left[\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)+\left(\frac{y}{z}+\frac{z}{y}\right)+\frac{x}{z}+\frac{z}{x}\right]\ge\frac{1}{2}\left(2+2+2\right)\)
đc ko ?
Theo bài ra, x;y;z > 0
Xét hiệu: \(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}-2=\frac{x^2-2xy+y^2}{xy}=\frac{\left(x-y\right)^2}{xy}\ge0\) (với x;y >0 )
\(\Rightarrow\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge2\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x-y=0\Leftrightarrow x=y\)
Tương tự: \(\frac{y}{z}+\frac{z}{y}\ge2,\frac{x}{z}+\frac{z}{x}\ge2\)
Do đó: \(\frac{1}{2}\left[\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)+\left(\frac{y}{z}+\frac{z}{y}\right)+\left(\frac{x}{z}+\frac{z}{x}\right)\right]\ge\frac{1}{2}\left(2+2+2\right)=3\)
Dấu "=" xảy ra khi x = y = z
\(\Rightarrow b+c-a=a+c-b=a+b-c\Rightarrow a=b=c\)
Bn ơi hình như sai rồi
sao \(\frac{y+z}{\frac{2}{x}}+\frac{x+z}{\frac{2}{y}}+\frac{x+y}{\frac{2}{z}}=\frac{y+z}{2x}+\frac{x+z}{2y}+\frac{x+y}{2x}\)đc !
Mình có viết vậy đâu.
\(\frac{\frac{y+z}{2}}{x}\) tức là \(\frac{y+z}{2x}\) thì sai ở chỗ nào.
Hai cái đấy có bằng nhau đâu mà bn viết bằng nhau
