Hình như cần sửa thành \(\ge\)mới đúng
\(2x^2+xy+2y^2=\frac{1}{2}\left(x+y\right)^2+\frac{3}{2}\left(x^2+y^2\right)\ge\frac{1}{2}\left(x+y\right)^2+\frac{3}{2}.\frac{1}{2}\left(x+y\right)^2=\frac{5}{4}\left(x+y\right)^2\)
\(\Rightarrow\sqrt{2x^2+xy+2y^2}\ge\frac{\sqrt{5}}{2}\left(x+y\right)\)
\(\Rightarrow\sqrt{2x^2+xy+2y^2}+\sqrt{2y^2+yz+2z^2}+\sqrt{2z^2+zx+2x^2}\ge\sqrt{5}\left(x+y+z\right)=\sqrt{5}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\)
Vậy ta có đpcm.